Симплексный метод решения задач линейного программирования

При графическом методе решения задач ЛП мы фактически из множества вершин, принадлежащих границе множества решений системы неравенств, выбрали такую вершину, в которой значение целевой функции достигало максимума (минимума). В случае двух переменных этот метод совершенно нагляден и позволяет быстро находить решение задачи.

Если в задаче три и более переменных, а в реальных экономических задачах как раз такая ситуация, трудно представить наглядно область решений системы ограничений. Такие задачи решаются с помощью симплекс-метода или методом последовательных улучшений. Идея метода проста и заключается в следующем.

По определенному правилу находится первоначальный опорный план (некоторая вершина области ограничений). Проверяется, является ли план оптимальным. Если да, то задача решена. Если нет, то переходим к другому улучшенному плану - к другой вершине. значение целевой функции на этом плане (в этой вершине) заведомо лучше, чем в предыдущей. Алгоритм перехода осуществляется с помощью некоторого вычислительного шага, который удобно записывать в виде таблиц, называемых симплекс-таблицами. Так как вершин конечное число, то за конечное число шагов мы приходим к оптимальному решению.

Рассмотрим симплексный метод на конкретном примере задачи о составлении плана.

Еще раз заметим, что симплекс-метод применим для решения канонических задач ЛП, приведенных к специальному виду, т. е. имеющих базис, положительные правые части и целевую функцию, выраженную через небазисные переменные. Если задача не приведена к специальному виду, то нужны дополнительные шаги, о которых мы поговорим позже.

№12 Понятие об М-методе (метод искусственного базиса)

Выше был изложен алгоритм получения допустимого базисно­го решения в случае, когда первоначальное базисное решение недопустимо. Однако при расчете с помощью симплексных таб­лиц удобнее пользоваться так называемым М-методом, дли мето­дом искусственного базиса. Он заключается в следующем.

В каждое уравнение, дающее отрицательную компоненту в ба­зисном решении, вводим свою новую неотрицательную искусст­венную переменную у\, у2, ¦¦¦, у к, которая имеет тот же знак, что и свободный член в правой части уравнения. В первой таблице включаем в число основных все искусственные переменные и те обычные добавочные переменные, которые определяют неотрица­тельные компоненты базисного решения. Составляем новую ли­нейную функцию Т = Р — М(у\ + у^ + … + Ук), где М — произ­вольно большое число, и ищем ее максимум (Г-задача). Назовем М-функцией выражение М(у\ + у2 + … + ук). Справедлива теорема (доказательство здесь не приводится):

1. Если в оптимальном решении Т-задачи все искусственные пе­ременные равны 0, то соответствующие значения остальных пере­менных дают оптимальное решение исходной задачи (т. е. 7"тах = = Fmax, если Yi= Уг = ¦¦• = Ук ~ 0/ W E — минимум М-функции равен 0).

2. Если имеется оптимальное решение Т-задачи, в котором хотя бы одна из искусственных переменных отлична от О, то система ограничений исходной задачи несовместна.

3. Если Гтах = оо, то исходная задача также неразрешима, при­чем либоFmax = оо, либо условия задачи противоречивы.

Из теоремы следует, что вначале следует найти минимум М — функции. Если он равен 0 и все искусственные переменные об­ращаются в 0, то далее можно отбросить эти переменные и ре­шать исходную задачу, исходя из полученного допустимого ба­зисного решения. На практике находят не минимум Л/-функции, а максимум (-Л^)-функции.

^ 5.11. Решить задачу 5.3 ^/-методом, используя симплексные таблицы.

Решение. Введем необходимое число искусственных пе­ременных и столько же дополнительных строк в симплексной таблице.

Имеем F = хх + 2х2 -> шах

При ограничениях:

Xj — Xj ¦+¦ Xj = —1,

- Xj — Xj x4 = —3, x( + x5 = 3.

Xy — (0; 0; -1; 3; 5) — недопустимое базисное решение с одной отрицательной компонентой, поэтому в первое уравнение введем искусственную переменную yi с тем же знаком, что и свободный член:

Х, - х2 + х3 - у, = -1,

№13 Двойственные задачи. Пример двойственной задачи