2.2 Общие свойства линейных программ

Общая задача линейного программирования в канонической форме состоит в нахождении вектора X=(X₁,X₂,..,X_n), обеспечивающего наибольшее (наименьшее) значение линейной формы

при условиях 

X_j  0 ( j = 1 ... n ) (3)

Остановимся на других формах записи этой задачи.

Если обозначить через A_j вектор-столбец, составленный из коэффициентов при X_j в (2), а через B - вектор-столбец из элементов правой части, то (2) можно записать в векторной форме 

Если обозначить через X вектор неизвестных, через A матрицу коэффициентов при неизвестных в (2) и через C вектор коэффициентов линейной формы, то задачу можно представить в следующем виде.

Максимизировать (минимизировать)

L(X)=C^TX (1a)

при условиях

AX = B (2a)

X  0 (3a)

(здесь T - символ транспонирования).

В дальнейшем мы покажем, что любую линейную программу можно привести к каноническому виду.

Как мы уже отмечали ранее, вектор X, удовлетворяющий ограничениям задачи, называют планом и совокупность таких векторов - множеством планов.

Если учесть, что каждое из ограничений (2)-(3) имеет своим геометрическим образом гиперплоскость (плоскость n-мерного пространства) или полупространство, ограниченное гиперплоскостью, то напрашивается вывод о том, что множество планов является выпуклым многогранником.

Можно убедиться в этом факте чисто формально.

Множество планов называется выпуклым, если любую его точку X можно представить в виде X = X₁+ +(1- )X₂, где 0    1 и X₁ и X₂ - точки этого множества (всякая точка выпуклого множества лежит на отрезке, соединяющем какие-нибудь две точки множества).

Возьмем два плана задачи X₁ и X₂. Имеем для них

AX₁=B, X₁  0,

AX₂=B, X₂  0.

Возьмем любую точку отрезка, соединяющего эти точки X = X₁+(1-)X₂. Не вызывает сомнений, что X  0. Подставляя в ограничения (2), получаем :

AX=A(  X₁+(1- )X₂ ) =AX₁+(1- )AX₂ =  B+(1-  )B=B .

Отсюда видно, что выбранная точка является планом задачи, что доказывает выпуклость множества планов.

Множество планов называют замкнутым, если его граница принадлежит этому множеству (в нашем случае это имеет место, так как ограничения выступают в форме равенств или неравенств, допускающих равенство).

Точка X множества называется его вершиной или крайней точкой, если ее нельзя поместить внутри отрезка, соединяющего какие-то две точки множества, т.е. представить в виде

X = X₁+(1-)X₂ , 0    1 .

Множество планов нашей задачи ограничено m+n гиперплоскостями и количество вершин не превышает числа сочетаний из m+n по n .

Выпуклое замкнутое множество с конечным числом вершин называется выпуклым многогранником, что подтверждает сделанные ранее интуитивные выводы.

Допустим, что оптимальный план X_opt является внутренней точкой множества планов, т.е.

X_opt = X₁+(1-)X₂, 0    1 .

В случае задачи минимизации L(X_opt) <  L(X₁), L(X_opt) <  L(X₂). Тогда

L(X_opt)=L(X₁)+(1-)L(X₂) >  L(X_opt)+(1-)L(X_opt)= L(X_opt),

что опровергает сделанное допущение. Следовательно, оптимальный план всегда достигается только в вершинах множества планов.

Остановимся на важном при дальнейшем рассмотрении понятии опорного плана. План называется опорным , если он обращает в равенство хотя бы n независимых ограничений(2)-(3) (в вершине пересекаются хотя бы n граничных гиперплоскостей).

Поиск опорного плана сводится к выбору из m+n соответствующих уравнений с n неизвестными подсистемы n уравнений. Если эта подсистема разрешима (определитель соответствующей матрицы коэффициентов отличен от нуля) и полученное решение удовлетворяет остальным ограничениям, то это решение является опорным планом.

Отсюда напрашивается вывод, что понятия опорного плана, крайней точки и вершины множества планов тождественны и оптимальный план всегда является опорным.

Поскольку компоненты опорного плана обращают в равенство хотя бы n из имеющихся m+n ограничений, то в (3) не более m ограничений будут выполняться в форме неравенств. Отсюда можно утверждать, что число положительных компонент опорного плана не превышает m. Так если, например, решается задача с 5 неотрицательными переменными при 3 ограничениях, то в ее оптимальном плане могут быть положительными не более 3 компонент.

Система m векторов A_j при положительных компонентах опорного плана называется базисом этого плана (эта система линейно независима и знание базиса автоматически определяет соответствующий опорный план).

Опорный план, содержащий ровно m положительных компонент, называется невырожденным , и в противном случае - вырожденным (здесь m - число независимых ограничений в (2)).