3. Основные теоремы линейного программирования

Для обоснования методов решения задач линейного программирования сформулируем ряд важнейших теорем, опуская их аналитические доказательства. Уяснить смысл каждой из теорем поможет понятие о геометрической интерпретации решения ЗЛП, данное в предыдущем подразделе.

Однако сначала напомним о некоторых понятиях, важных с точки зрения дальнейшего разговора.

Любые m переменных системы m линейных уравнений с n переменными (m < n) называются основными, если определитель матрицы коэффициентов при них отличен от нуля. Тогда остальные m-n переменных называются неосновными (или свободными).

Базисным решением системы m линейных уравнений c n переменными (m < n) называется всякое ее решение, в котором все неосновные переменные имеют нулевые значения.

Теорема 1. Множество всех допустимых решений системы ограничений задачи линейного программирования является выпуклым.

В частном случае, когда в систему ограничений входят только две переменные x₁ и x₂, это множество можно изобразить на плоскости. Так как речь идет о допустимых решениях (x₁, x₂ ≥ 0), то соответствующее множество будет располагаться в первой четверти декартовой системы координат. Это множество может быть замкнутым (многоугольник), незамкнутым (неограниченная многогранная область), состоять из единственной точки и, наконец, система ограничений-неравенств может быть противоречивой.

Теорема 2. Если задача линейного программирования имеет оптимальное решение, то оно совпадает с одной (двумя) из угловых точек множества допустимых решений.

Из теоремы 2 можно сделать вывод о том, что единственность оптимального решения может нарушаться, причем, если решение не единственное, то таких оптимальных решений будет бесчисленное множество (все точки отрезка, соединяющего соответствующие угловые точки).

Теорема 3. Каждому допустимому базисному решению задачи линейного программирования соответствует угловая точка области допустимых решений, и наоборот.

Следствием из теорем 2 и 3 является утверждение о том, что оптимальное решение (оптимальные решения) задачи линейного программирования, заданной (или приведенной) ограничениями-уравнениями, совпадает с допустимым базисным решением (допустимыми базисными решениями) системы ограничений.

Таким образом, оптимальное решение ЗЛП следует искать среди конечного числа допустимых базисных решений.

№8 Теоретические основы методов линейного программирования

2.1.Линейная программа: случай двух переменных

Если обратиться к поиску максимума (минимума) линейной функции одной переменной F(X) в интервале [A,B] , то очевидно, что достаточно найти F(A) и F(B) и выбрать из них большее (меньшее).

Рассмотрим чуть-чуть более сложную задачу.

Пусть шахта добывает уголь двух марок A и B, который используется для изготовления концентратов типа C1, C2 и C3. Себестоимость добычи тонны угля этих марок равна соответственно 2 и 5 денежным еди-ницам. Объемы производства концентратов должны быть не менее 10 , 100 и 20 тонн. На производство тонны концентрата С1 требуется 0.4 тонны угля марки А и 0.2 тонны угля марки В, для С2 - 0.2 и 0.4, для С3 - 0.2 и 0.02 соответственно. Суммарный объем добычи угля не превыша-ет 750 тонн. Попытаемся найти объемы добычи угля по маркам, которые потребовали бы минимальных затрат.

Если обозначить искомые объемы через X и Y , то задача сведется к минимизации производственных затрат

L( X , Y ) = 2 X + 5 Y

при условиях

(1) 0.4 X + 0.2 Y  100

(2) 0.2 X + 0.4 Y  100

(3) 0.2 X + 0.02 Y  20

(4) X + Y  750

(5) X  0

(6) Y  0

Так как целевая функция и ограничения линейны, мы имеем дело с задачей линейного программирования. Учитывая двухмерность этой задачи, попытаемся решить ее графически.

Очевидно, что условие X + Y   задает полуплоскость, ограниченную прямой X + Y =  . Тогда система любых подобных ограничений определит множество допустимых решений (планов) в виде некоторого выпуклого многоугольника.

рис.1

Если вспомнить понятие градиента функции в точке как вектора, составленного из частных производных функции, вычисленных в этой точке, и учесть, что градиент указывает направление наибольшего возрастания функции в окрестности точки, то в случае линейной функции можно утверждать постоянство градиента в любой точке плоскости. Тогда очевидно, что экстремумы линейной функции достигаются в вершинах множества планов (или на какой-то грани множества, если градиент перпендикулярен этой грани).

Для нашей задачи множество планов представляет многоугольник A B C D E (рис.1) и градиент определяется вектором с компонентами (2,5) .

Нетрудно видеть, что минимум достигается в точке E с координатами (500,0), а максимум - в точке С, координаты которой получаются решением системы уравнений :

0.4 X + 0.2 Y = 100

0.2 X + 0.02 Y = 20

(Использование градиента избавляет нас от необходимости отыскивать координаты всех вершин множества планов и вычисления значений функции во всех этих вершинах с последующим выбором минимального значения).

Приведенный пример показывает, что для двухмерной линейной программы в случае непротиворечивых ограничений множество планов является выпуклым многоугольником (в частности, отрезком, лучом или даже точкой) и экстремумы целевой функции (линейной формы) достигаются

рис.2

в вершинах этого многоугольника (если градиент перпендикулярен некоторой грани, то во всех точках отрезка, соединяющего соответствующие вершины).

Обратите внимание на тот факт, что множество планов может оказаться неограниченным. В этом случае может обнаружиться факт неограниченности значений целевой функции по максимуму и (или) минимуму.

Установленные для двухмерного случая свойства решений полезны и при рассмотрении произвольной линейной программы.