Описание метода

• Составим функцию Лагранжа в виде линейной комбинации функции   и функций  , взятых с коэффициентами, называемыми множителями Лагранжа —  :

где  .

• Составим систему из   уравнений, приравняв к нулю частные производные функции Лагранжа   по   и  .

• Если полученная система имеет решение относительно параметров   и  , тогда точка   может быть условным экстремумом, то есть решением исходной задачи. Заметим, что это условие носит необходимый, но не достаточный характер.

[Править]Обоснование

Нижеприведенное обоснование метода множителей Лагранжа не является его строгим доказательством. Оно содержит эвристические рассуждения, помогающие понять геометрический смысл метода.

[Править]Двумерный случай

Линии уровня   и кривая  .

Пусть требуется найти экстремум некоторой функции двух переменных   при условии, задаваемом уравнением  . Мы будем считать, что все функции непрерывно дифференцируемы, и данное уравнение задает гладкую кривую   на плоскости  . Тогда задача сводится к нахождению экстремума функции   на кривой  . Будем также считать, что   не проходит через точки, в которых градиент   обращается в  .

Нарисуем на плоскости   линии уровня функции   (то есть кривые  ). Из геометрических соображений видно, что экстремумом функции   на кривой  могут быть только точки, в которых касательные к   и соответствующей линии уровня совпадают. Действительно, если кривая   пересекает линию уровня   в точке  трансверсально (то есть под некоторым ненулевым углом), то двигаясь по кривой   из точки   мы можем попасть как на линии уровня, соответствующие большему значению  , так и меньшему. Следовательно, такая точка не может быть точкой экстремума.

Тем самым, необходимым условием экстремума в нашем случае будет совпадение касательных. Чтобы записать его в аналитической форме, заметим, что оно эквивалентно параллельности градиентов функций   и   в данной точке, поскольку вектор градиента перпендикулярен касательной к линии уровня. Это условие выражается в следующей форме:

где   — некоторое число, отличное от нуля, и являющееся множителем Лагранжа.

Рассмотрим теперь функцию Лагранжа , зависящую от   и  :

Необходимым условием ее экстремума является равенство нулю градиента  . В соответствии с правилами дифференцирования, оно записывается в виде

Мы получили систему, первые два уравнения которой эквивалентны необходимому условию локального экстремума (1), а третье — уравнению  . Из нее можно найти  . При этом  , поскольку в противном случае градиент функции   обращается в нуль в точке  , что противоречит нашим предположениям. Следует заметить, что найденные таким образом точки   могут и не являться искомыми точками условного экстремума — рассмотренное условие носит необходимый, но не достаточный характер. Нахождение условного экстремума с помощью вспомогательной функции   и составляет основу метода множителей Лагранжа, примененного здесь для простейшего случая двух переменных. Оказывается, вышеприведенные рассуждения обобщаются на случай произвольного числа переменных и уравнений, задающих условия.

На основе метода множителей Лагранжа можно доказать и некоторые достаточные условия для условного экстремума, требующие анализа вторых производных функции Лагранжа.

№22 Модели выпуклого программирования

Представляет собой совокупность методов решения нелинейных экстремальных задач с выпуклыми функциями — раздел нелинейного программирования (т. е. дисциплины, занимающейся решением таких задач, в которых действуют не только линейные, но и другие, более сложные зависимости). Выпуклым этот вид математического программирования называется потому, что имеет дело с выпуклыми целевыми функциями (они минимизируются) и выпуклыми системами ограничений (рис. 2.4, в, г).

Общая задача выпуклого программирования состоит в отыскании такого вектора х (т. е. такой точки выпуклого допустимого множества), который доставляет минимум выпуклой функции   или максимум вогнутой функции Для второго случая

(выпуклая область допустимых значений и максимум вогнутой функции) ряд авторов используют термин «вогнутое программирование». Выпуклость (вогнутость) важна тем, что гарантирует нахождение оптимального решения задачи, так как здесь соответственно локальные и глобальный экстремумы обязательно совпадают. Критериями оптимальности в первом случае могут быть, например, издержки при различных сочетаниях факторов производства, во втором — величина прибыли при этих сочетаниях. Как видим, есть большое сходство между задачами выпуклого (вогнутого) и линейного программирования (последнее можно рассматривать как частный случай первого). Но нелинейность зависимостей делает задачу намного сложнее задачи линейного программирования, где результаты изменяются пропорционально (линейно) по отношению к затратам.

№23 Общая постановка задачи динамического программирования

Рассматривается управляемая система, которая под влиянием управле­ния переходит из начального состояния   в конечное состояние  . Пред­положим, что процесс управления системой можно разбить на n шагов. Пусть   -состояния системы после 1-го, 2-го, ..., n-го-шагов. Состояние   системы после k-го шага   характеризуется пара­метрами  , которые называются фазовыми координатами. Состояние можно изобразить точкой s -мерного пространства, называемого фазовым. Последовательное преобразование системы (по шагам) достигает­ся с помощью некоторых мероприятий  , которые составляют управление системой  , где  - управление на k-м  шаге, переводящее систему из состояния   в состояние  . Управление   на k-м  шаге заключается в выборе значений определенных управляющих пе­ременных  . Предполагаем, что состояние системы в кон­це k-го шага зависит только от предшествующего состояния системы    и управления   на данном шаге. Такое свойство получило название отсутствие последействия.Запишем эту зависимость в виде       (1).                                                                                                                                                  

Равенства (1) получили название уравнений состояний.

Варьируя управление U, получим различную эффективность процесса,  которую будем оценивать количественно-целевой функцией

                                                                                       (2)

Показатель эффективности k-го шага процесса управления, который зависит от состояния   в начале этого шага и управления  ,  выбранного на этом шаге, обозначим через  . Врассматриваемой задаче пошаговой оптимизации целевая функция (2) полагается аддитивной, т. е.

                                              .                                           (3)

Обычно условиями процесса на управление на каждом шаге   накладываются некоторые ограничения. Управления, удовлетворяющие этим ограниче­ниям, называются допустимыми.

Задачу пошаговой оптимизации можно сформулировать следующим образом. Определить совокупность допустимых управлений   переводящих систему из начального состояния   в конечное состояние   и максимизирующих или минимизирующих показатель эффективности (3). В дальнейшем будем рассматривать задачу на максимум.

Начальное состояние   и конечное состояние   могут быть заданы однозначно или могут быть указаны множество   начальных состояний и множество  конечных состояний так, что  .  В последнем случае в задаче пошаговой оптимизации требуется определить совокуп­ность допустимых управлений, переводящих систему из начального состоя­ния    в конечное состояние   и максимизирующих целевую функцию (3). Управление, при котором достигается максимум целевой функции (3), называется оптимальным управлением и обозначается через  .

№24 Принцип оптимальности и уравнение Беллмана