2.1. Методы отсечения и их сущность

Рассмотрим общую задачу целочисленного программирования в постановке:

 

 

 - целые .

Назовем эту задачу -

-задачей.

Задачу без учета целочисленности

 

 

назовем

-задачей.

Рассмотрим теорему.

Теорема 2.1. Пусть G- многогранник,  - множество его целых

точек, R- выпуклая линейная оболочка множества

, тогда:

1)	-целочисленный многогранник;

2) ;

3)  - множество опорных планов задачи

содержится в

многограннике .

2.Метод гомори

Одним из методов решения задач линейного целочисленного программирования является метод Гомори. Сущность метода заключается в построении ограничений, отсекающих нецелочисленные решения задачи линейного программирования, но не отсекающих ни одного целочисленного плана.

Рассмотрим алгоритм решения задачи линейного целочисленного программирования этим методом.

1. Решаем задачу симплексным методом без учета условия целочисленности. Если все компоненты оптимального плана целые, то он является оптимальным и для задачи целочисленного программирования. Если обнаруживается неразрешимость задачи, то и неразрешима задача целочисленного программирования.

2. Если среди компонент оптимального решения есть нецелые, то к ограничениям задачи добавляем новое ограничение, обладающее следующими свойствами:

- оно должно быть линейным;

- должно отсекать найденный оптимальный нецелочисленный план;

- не должно отсекать ни одного целочисленного плана.

Для построения ограничения выбираем компоненту оптимального плана с наибольшей дробной частью и по соответствующей этой компоненте k-й строке симплексной таблицы записываем ограничение Гомори.

,  ,

где   f_k = x_j - [x_j];

  f_kj = z_kj - [z_kj];

  S^* - новая переменная;

[x_j], [z_kj] -ближайшее целое, не превосходящее x_j и z_kj соответственно.

3. Составленное ограничение добавляем к имеющимся в симплексной таблице, тем самым получаем расширенную задачу. Чтобы получить опорный план этой задачи, необходимо ввести в базис тот вектор, для которого величина   минимальна. И если для этого вектора величина   получается по дополнительной строке, то в следующей симплексной таблице будет получен опорный план. Если же величина   не соответствует дополнительной строке, то необходимо переходить к М-задаче (вводить искусственную переменную в ограничение Гомори).

4. Решаем при помощи обычных симплексных преобразований полученную задачу. Если решение этой задачи приводит к целочисленному оптимальному плану, то искомая задача решена. Если мы получили нецелочисленное решение, то снова добавляем одно дополнительное ограничение, и процесс вычислений повторяется. Проделав конечное число итераций, либо получаем оптимальный план задачи целочисленного программирования, либо устанавливаем ее неразрешимость.

№20 Классические методы определения экстремума

Во многих экономических моделях исследования операций зависимости между постоянными и переменными факторами лишь в первом приближении можно считать линейными, более детальное рассмотрение позволяет обнаружить их нелиней­ность. Как правило, такие показатели, как прибыль, себестои­мость, капитальные затраты на производство и др., в действи­тельности зависят от объема производства, расхода ресурсов и т. п. нелинейно. В этом случае возникает задача нелинейного программирования, математическая модель которой (0.1), (0.2) приведена во введении.

Можно выделить класс нелинейных задач, которые относятся к классическим методам оптимизации. Допустим, что среди огра­ничений (0.1) нет неравенств, не обязательны условия неотрица­тельности, переменные не являются дискретными, т < п, а функ­ции ф, (Л0 и Л. Х) непрерывны и имеют частные производные по крайней мере второго порядка. В этом случае задачу оптимизации можно сформулировать так: найти переменные х2, ,.., х„, удов­летворяющие системе уравнений

Ф,.(*,,х2,…,хя) = А, г =1,2, …, т (10.1)

(10.2)

И обращающие в максимум (минимум) целевую функцию

Г — /(х\,х2,-• -,хп).

Такие задачи в принципе можно решать классическими мето­дами дифференциального исчисления. Однако на этом пути встречаются такие вычислительные трудности, которые делают необходимым поиск других методов решения (например, см. гл. 11, 12). Поэтому классические методы часто используется не в качестве вычислительного средства, а как основа для теоретиче­ского анализа.

Примером типичной и простой нелинейной задачи является следующая: данное предприятие для производства какого-то продукта расходует два средства в количестве х, и х2 соответст­венно. Это факторы производства, например, машины и труд, два различных вида сырья и т. п., а величины х\ и х2 — затраты факторов производства. Факторы производства впредь будем считать взаимозаменяемыми. Если это "труд" и "машины", то можно применять такие методы производства, при которых величина затрат машин в сопоставлении с величиной затрат труда оказывается больше или меньше (производство более или менее трудоемкое). В сельском хозяйстве взаимозаменяе­мыми факторами могут быть посевные площади или мине­ральные удобрения (экстенсивный или интенсивный метод производства).

Объем производства (выраженный в натуральных или стои­мостных единицах) является функцией затрат производства г = /(х, ,х2). Эта зависимость называется производственной функ­цией. Издержки зависят от расхода обоих факторов (Х| и х2) и от цен этих факторов (С) и с2). Совокупные издержки выражаются формулой Ь = с, Х) + с2х2. Требуется при данных совокупных из­держках определить такое количество факторов производства, которое максимизирует объем продукции г.

Математическая модель этой задачи имеет вид: определить та­кие переменные Х[ и х2, удовлетворяющие условиям

X, 2: О, Х2 2: О,

При которых функция

Г = /(хих2) (10.4)

Достигает максимума.

Как правило, функция (10.4) может иметь произвольный не­линейный вид.

Используя классические методы оптимизации, следует четко представлять себе различие между локальным экстремумом функ­ции, глобальным экстремумом и условным экстремумом. При этом полезно повторить определение локального и глобального экс­тремумов для функции одной переменной. Понятие условного экстремума вводится для случая, когда число переменных п не меньше 2 (п > 2).

Будем полагать, что функция г- /(хьх2,…,х„) = /(X) дваж­ды дифференцируема в точке X* = (х,*,;^,…,**), (X* е ?(/)) и в некоторой ее окрестности. Если для всех точек X этой окрестно­сти /(Х*)^/(Х) или /(X*) < /(X), то говорят, что функция

/(X) имеет экстремум в X’ (соответственно максимум или мини­мум).

Точка X*, в которой все частные производные функции г = /(X) равны 0, называется стационарной точкой.

Необходимое условие экстремума. Если в точке X* функция - /(X) имеет экстремум, то частные производные функции в этой точке раны нулю

№21 Метод множителей Лагранжа

Метод множителей Лагранжа, метод нахождения условного экстремума функции  , где  , относительно   ограничений  , где   меняется от единицы до  .