Связь между решениями прямой и двойственной задач

Рассмотрим пару двойственных задач, образованную основной задачей линейного программирования и двойственной к ней. Исходная задача: найти максимум функции

(43)

при условиях

(44)

(45)

Двойственная задача: найти минимум функции

(46)

при условиях

(47)

Каждая из задач двойственной пары (43) – (45) и (46), (47) фактически является самостоятельной задачей линейного программирования и может быть решена независимо одна от другой. Однако при определении симплексным методом оптимального плана одной из задач тем самым находится решение и другой задачи.

Существующие зависимости между решениями прямой и двойственной задач характеризуются сформулированными ниже леммами и теоремами двойственности.

Лемма 1. Если Х – некоторый план исходной задачи (43) – (45), a Y – произвольный план двойственной задачи (46), (47), то значение целевой функции исходной задачи при плане Х всегда не превосходит значения целевой функции двойственной задачи при плане Y, т. е. 

Лемма 2. Если  для некоторых планов X^* и Y^* задач (43) – (45) и (46), (47), то X^* – оптимальный план исходной задачи, а Y^* – оптимальный план двойственной задачи.

Теорема 8 (первая теорема двойственности). Если одна из задач двойственной пары (43) – (45) или (46), (47) имеет оптимальный план, то и другая имеет оптимальный план и значения целевых функций задач при их оптимальных планах равны между собой, т. е. 

Если же целевая функция одной задачи из двойственной пары неограничена (для исходной (43) – (45) – сверху, для двойственной (46), (47) – снизу), то другая задача вообще не имеет планов.

Теорема 9 (вторая теорема двойственности). План  задачи (43) – (45) и план  задачи (46), (47) являются оптимальными планами этих задач тогда и только тогда, когда для любого  выполняется равенство

№16 Теоремы двойственности

Теоремы двойственности и их применение

Теоремы двойственности и их применение. Фундаментальные свойства, которыми обладают двойственные задачи линейного программирования, могут быть сформулированы в виде приводимых ниже утверждений. Их обычно называют теоремами двойственности.

Теорема 1.4. Если х, и— допустимые планы для пары двойственных задач (D,f) и (D*,f*), тo f(x) ≤ f(u).

Доказательство.

Достаточно доказать теорему для случая, когда задача (D, f) является канонической. Рассмотрим пару двойственных задач

Из того, что вектор и является допустимым планом задачи (D*, f*), следует, что иА ≥ с. Умножив левую и правую части данного неравенства на вектор х ≥ 0 , получим равносильную систему неравенств

Одновременно для вектора х, являющегося допустимым планом задачи (D, f), справедливо равенство Ax=b. Тем самым доказано, что иb ≥ сх.A

Замечание. Теорема 1.4, разумеется, верна и для оптимальных планов взаимно двойственных задач: f(x*) ≤ f*(u*), где х* и u*—любые оптимальные планы задач (D, f) и (D*,f*). На самом деле, как будет видно из дальнейшего, справедливо равенство f(x*) = f*(u*).

№18 Методы решения транспортной задачи

ранспортная задача (задача Монжа — Канторовича) — математическая задача линейного программирования специального вида о поиске оптимального распределения однородных объектов из аккумулятора к приемникам с минимизацией затрат на перемещение.^[1][2] Для простоты понимания рассматривается как задача об оптимальном плане перевозок грузов из пунктов отправления в пункты потребления, с минимальными затратами на перевозки. Транспортная задача является по теории сложности вычислений NP-сложной и входит в класс сложности NP. Когда суммарный объём предложений (грузов, имеющихся в пунктах отправления) не равен общему объёму спроса на товары (грузы), запрашиваемые пунктами потребления, транспортная задача называется несбалансированной (открытой). Постановка задачи

Транспортная задача (классическая) — задача об оптимальном плане перевозок однородного продукта из однородных пунктов наличия в однородные пункты потребления на однородных транспортных средствах (предопределённом количестве) со статичными данными и линеарном подходе (это основные условия задачи).

Для классической транспортной задачи выделяют два типа задач: критерий стоимости (достижение минимума затрат на перевозку) или расстояний и критерий времени (затрачивается минимум времени на перевозку). Под названием транспортная задача ,определяется широкий круг задач с единой математической моделью, эти задачи относятся к задачам линейного программирования и могут быть решены оптимальным методом. Однако, спец.метод решения транспортной задачи позволяет существенно упростить её решение, поскольку транспортная задача разрабатывалась для минимизации стоимости перевозок.

[править]История поиска методов решения

Проблема была впервые формализована французским математиком Гаспаром Монжем в 1781 году^[3]. Основное продвижение было сделано на полях во время Великой Отечественной войны советским математиком и экономистом Леонидом Канторовичем^[4]. Поэтому иногда эта проблема называется транспортной задачей Монжа — Канторовича.

[править]Методы решения

Классическую транспортную задачу можно решить симплекс-методом, но в силу ряда особенностей её можно решить проще (для задач малой размерности).

Условия задачи располагают в таблице, вписывая в ячейки количество перевозимого груза из   в   груза  , а в маленькие клетки — соответствующие тарифы  .

[править]Итерационное улучшение плана перевозок

[править]Нахождение опорного плана

Требуется определить опорный план и путём последовательных операций найти оптимальное решение. Опорный план можно найти следующими методами: «северо-западного угла», «наименьшего элемента», двойного предпочтения и аппроксимации Фогеля.

[править]Метод северо-западного угла (диагональный)

На каждом этапе максимально возможным числом заполняют левую верхнюю клетку оставшейся части таблицы. Заполнение таким образом, что полностью выносится груз из   или полностью удовлетворяется потребность  .

[править]Метод наименьшего элемента

Одним из способов решения задачи является метод минимального (наименьшего) элемента. Его суть заключается в сведении к минимуму побочных перераспределений товаров между потребителями.

Алгоритм:

1. Из таблицы стоимостей выбирают наименьшую стоимость и в клетку, которая ей соответствует, вписывают большее из чисел.

2. Проверяются строки поставщиков на наличии строки с израсходованными запасами и столбцы потребителей на наличие столбца, потребности которого полностью удовлетворены. Такие столбцы и строки далее не рассматриваются.

3. Если не все потребители удовлетворены и не все поставщики израсходовали товары, возврат к п. 1, в противном случае задача решена.

№19 Модели целочисленного программирования. Методы отсечения. Метод Гомори

Целочисленное программирование ориентировано на решение задач, в которых все или некоторые переменные должны принимать только целые значения. Задача называется полностью целочисленной, если условие целочисленности наложено на все ее переменные; когда это условие относится лишь к некоторым переменным, задача называется частично целочисленной. [1]

Целочисленное программирование исторически выросло из непрерывного линейного программирования, сразу начало использовать его идеи, аппарат и методы. [2]

Целочисленное программирование ориентировано на решение задач математического программирования, в которых все или некоторые переменные должны принимать только целочисленные значения. Задача называется полностью целочисленной, если условие целочисленности наложено на все ее переменные; когда это условие относится лишь к некоторым переменным, задача называется частично целочисленной. [3]

Методы целочисленного программирования, известные - в настоящее время, позволяют решать довольно ограниченный круг задач в связи с тем, что для реальных задач необходимо проделывать очень большой объем вычислений. Актуальность и трудность проблематики делают целочисленное программирование одним из перспективных и интересных направлений в математическом программировании. [4]

Присущие целочисленному программированию трудности вычислительного характера обусловили стремление исследователей найти альтернативные пути решения проблемы. Один из простейших подходов заключается в решении непрерывной модификации целочисленной задачи с последующим округлением координат полученного оптимума до допустимых целых значений. Округление в данном случае есть не что иное, как приближение. [5]

Среди задач целочисленного программирования наибольший интерес представляют задачи комбинаторного типа, в которых экстремальное решение описывается некоторой перестановкой набора чисел. Для их решения применяются методы, использующие принципы направленного перебора вариантов. Оптимальное решение получается в результате перебора сокращенного числа допустимых решений. С помощью определенного правила исключаются целые подмножества вариантов, не содержащие оптимальной точки. [6]

Постройте модель целочисленного программирования для определения того, в каких из п массивов производить поиск, чтобы выбрать данные, относящиеся ко всем требуемым статистическим характеристикам, за минимальное время. [7]

Постройте модель целочисленного программирования для определения такого назначения автомашин для доставки всех грузов, при котором минимизируются суммарные затраты. [8]

Рассмотрим модель целочисленного программирования, содержащую только булевы переменные. [9]

К задачам целочисленного программирования относятся, например, задача об оптимальном раскрое материалов, так как ее параметры управления задаются в целых единицах ( листах фанеры, стекла, стали), задача об оптимальном распределении самолетов по различным маршрутам авиалиний, известные задачи о рюкзаке и коммивояжере. [10]

Именно алгоритмы целочисленного программирования, которые будут описаны ниже, реализуют методы систематического введения дополнительных ограничений с целью сведения исходной допустимой области к выпуклой оболочке ее допустимых целочисленных точек. [11]

Вначале задача целочисленного программирования рассматривается как линейная программа и алгоритм решает ее с помощью прямого или двойственного симплекс-метода. [12]

Многие задачи целочисленного программирования могут быть представлены в такой форме. В частности, иногда можно представить в такой форме задачу, в которой целевая функция является квадратичной положительной полуопределенной функцией, а ограничения линейны. [13]

Рассмотрим задачу целочисленного программирования, к которой сводятся многие задачи автоматизации проектирования ( см. гл. [14]

Классические методы целочисленного программирования позволяют в результате оптимизационных расчетов получать решения ( определять искомые объемы производства), точно соответствующие типовым мощностям. В этих условиях производство либо входит в оптимальный план с объемом, равным мощности, либо не входит вообще. [15]