7.Давление жидкости на плоскую стенку. Центр Давления

Выведем формулу для определения силы суммарного гидростатиче­ского давления Р, действующего на плоскую стенку произвольного очер­тания, расположенную под поверхностью жидкости под произвольным уг­лом а к горизонту (рис. 2.8). Выделим на рассматриваемой стенке элемен­тарную площадку dω.

Силу давления на элементарную площадку dω, расположенную на глубине h, можно записать в виде

dP = pdω- (ро + 𝜌gh)dω= pq dω + 𝜌ghdω).

Здесь pq — давление на поверхности жидкости.

Если l- координата в плоскости стенки, то h =l sin а. Тогда

dP = pо dω+ 𝜌gl sin a dω. (2.12)

Чтобы найти величину силы давления, действующей на всю площадь ω, нужно проинтегрировать элементарную силу dP, действующую на пло­щадку dω, по площади ω:

Интеграл _ω∫ldω= S является статическим моментом площади стенки ω относительно оси х, которая представляет собой линию пересечения на­клонной плоскости стенки с поверхностью жидкости. Этот момент можно представить как где 1с - координата центра тяжести.

Тогда, учитывая, что где h_c - глубина погружения центра тяжести площадки, получим

(2.13) или

Здесь рс - давление в центре тяжести стенки.

Таким образом, полная сила давления жидкости на плоскую стенку равна произведению площади стенки на гидростатическое давление рс в центре тяжести этой площадки.

Внешнее давление ро передается всем точкам площадки со одинако­во, поэтому его равнодействующая будет приложена в центре тяжести площадки. А давление от веса жидкости распределится по площадке не­равномерно.

Точка приложения равнодействующей сил гидростатического давле­ния называется центром давления.

Найдем координату центра давления на площадке ω. Будем считать для простоты, что на стенку действуют только силы избыточного давления, т. е. p₀ = 0.

Обозначим центр давления буквой D. Тогда его координата по стенке будет l_D. Вспомним теорему механики о том, что момент равнодействующей силы (в нашем случае – гидростатического давления) относительно оси (возьмем ось Оx) равен сумме моментов составляющих сил, т. е. .

Из формулы (2.12) определим величину dP и, с учетом того, что p₀ = 0, получим

,

где J_x – момент инерции площадки ω относительно оси x.

Отсюда .

Подставим в эту формулу значение P из выражения (2.13) и, учитывая, что p₀ = 0, получим:

.

Выразим момент инерции относительно оси x – J_x – через момент инерции относительно оси, проходящей через центр тяжести площадки ω и параллельной оси x – J_C :

.

Тогда окончательно имеем:

.

(2.14)

Из этой формулы видно, что l_D всегда будет больше l_C, т. е. центр давления лежит глубже, чем центр тяжести площадки ω. Величина имеет размер длины и называется эксцентриситетом давления. Эксцентриситет давления уменьшается с увеличением глубины погружения площадки.

Если площадь ω имеет ось симметрии, перпендикулярную оси x, то формула (2.14) полностью определяет положение центра давления. В случае несимметричной фигуры нужно отыскать вторую координату центра давления в направлении, параллельном оси x. Построим ось y, перпендикулярную оси x, и проведем все расчеты и рассуждения, аналогичные вышеприведенным, относительно этой оси. Получим:

. Здесь – центробежный момент инерции площадки ω относительно осей x и y. Следует иметь в виду, что центробежный момент инерции может быть и положительным, и отрицательным, в зависимости от расположения оси y.

В предыдущих рассуждениях принято, что давление на поверхности жидкости p₀ равно нулю. Если оно отлично от нуля, то учесть его можно так: точкой приложения силы внешнего давления на площадку будет центр тяжести этой площадки; точкой приложения избыточного давления является центр давления. Зная две этих силы и точки их приложения, можно найти общий центр давления на площадку, при этом полная сила давления на площадь ω будет равна сумме внешнего и избыточного давлений