3.Дифференциальное уравнение гидростатики

Выделим в покоящейся жидкости вокруг точки А элементарный объ­ем в виде параллелепипеда и составим условия его равновесия.

На этот параллелепипед выделенной жидкости действуют поверхно­стные силы (силы гидростатического давления) и объемные силы.

Примем, что давление в центре параллелепипеда (в точке А) равно р_А. Тогда давление в центре левой грани р\ будет

Сила давления на всю левую грань

Аналогично, сила давления на правую грань

Здесь —изменение гидростатического давления по оси х на единицу длины. Знак этой величины определяется направлением перемещения от точки А к соответствующим граням.

Проекция объемных сил на ось х будет равна 𝜌Хdxdy dz.

Тогда уравнение равновесия (покоя) выделенного объема жидкости можно записать в виде

Подставляя значения Р\ и и приводя подобные члены, имеем

Сокращая на объем параллелепипеда dxdydz, получим уравнение для единицы объема жидкости

Уравнения для других осей запишем по аналогии:

Эти уравнения называются уравнениями Эйлера. В них заключаются необходимые и достаточные условия равновесия жидкости, так как если эти условия выполняются в любой точке жидкости, то каждая частица жидкости находится в равновесии.

Обычно систему дифференциальных уравнений равновесия (уравне­ния Эйлера) записывают в следующем виде:

У равнения Эйлера показывают, что в состоянии покоя массовые си­лы, действующие на каждую частичку жидкости, уравновешиваются по­верхностными силами (градиентом давления).

4. Основное уравнение гидростатики.

Для вывода основного уравнения гидростатики необходимо проин­тегрировать полученные дифференциальные уравнения равновесия (2.1).

Умножим каждый член первого из уравнений Эйлера на dx, второго и третьего — на dy и dz соответственно и сложим почленно. В результате получим (2.2)

Очевидно, что правая часть уравнения (2.2) представляет собой полный дифференциал давления dp, поскольку давление является функци­ей координат р = f(x,y,z). Но если правая часть уравнения есть полный дифференциал, то и левая его часть должна быть полным дифференциалом какой-то функции. В случае, когда р = const (жидкость однородная и не­сжимаемая), существует некая функция координат U = f(x, у, z) которая обладает следующим свойством:

Силы, для которых такая функция существует, называются силами, имеющими потенциал. Функция U называется силовой потенциальной функцией.

Тогда уравнение равновесия (2.2) можно записать в виде 𝜌 dU = dp. (2.3)

Из этого можно сделать вывод, что несжимаемая жидкость может находиться в равновесии только под действием объемных сил, имеющих потенциал.

Как известно, к таким силам относится, например, сила тяжести. Ес­ли на жидкость действует только одна объемная сила - сила тяжести, то можем записать Х = 0, 7 = 0, Z = -g.

Уравнение равновесия тогда примет вид: -𝜌gdz=dp.

Считая р = const, интегрируем и получаем

Отсюда видно, что в покоящейся жидкости, на которую действуют только силы тяжести, давление есть функция только одной координаты - z. Это уравнение, записанное в виде называют основным уравнением гидростатики.

Константу в уравнении (2.4) определим из граничного условия.

Расположим начало координат на поверхности жидкости, где р = ро, при z = 0. Тогда имеем:const = - ро.

Используем новую переменную - глубину погружения от поверхно­сти жидкости h = — z. Тогда окончательно получим уравнение для гидро­статического давления:p = po+pgh. (2.5)

Таким образом, давление в любой точке жидкости, находящейся под действием силы тяжести, складывается из давления на поверхности и про­изведения объемного веса жидкости на глубину погружения этой точки. Из уравнения видно, что давление изменяется линейно с глубиной погруже­ния.