Рішити наступні задачі.

Довести паралельність прямих (х - l)/6=(у+2)/2=z/ -1 і х -2у+2z - 8=0. Довести, що пряма (x+l)/2=(y+1)/ -l=(z - 3)/3 паралельна площині 2ҳ+y - z=0, а пряма (х - 2)/2=y/ -l=(z -4)/3 лежить в цій плщині. Скласти рівняння прямої, що проходить через точку М(l, -3,3) і створюючої з вісями координат кути, відповідно рівні 60º,45ºта 120ºградусiв.(Вiдп: (х - l)/l=(y+3) / =(z- 3)/ -1). Довести, що пряма (х -l)/2=(y+2)/3=(z-1)/б перпединкулярна до прямої

5.Скласти параметричні рівняння медіани трикутника з вершинами A(3,6, -7), B(-5,1, -4),С(0,2,З), проведенноі з вершини С.(Вiдп: х=2t, y=-Зt+2,z=17t+3).

6.При якому зняченні n пряма (x+2)/3=(y - l)/n=z/1 паралельна прямій х+у - z=0,

x+y-z=0,x - у - 5z - 8=0.

(Biдп: n= -2).

7.Знайти точку перетину прямої (х - l)/l=(y+1)/ - 2=z/6 та площини 2x+3y+z-l=0.(Biдп:M(2, -3,6).)

8.Знайти проекцію точки Р(З,1, -1) на площину х+2у+Зz – З0=0.(Вiдп: Рl(5,5,5).)

9.При якому значенні С площини 3х - 5у+Сz - 3=0 і х+Зу+2z+5=0 перпендикулярні ?(Вiдп: С=6).

10.При якому значенні А площина Ax+3y - 5z+l=0 паралельна прямій (х - l)/4=(у+2)/З=z/1 ? (Вiдп: А= -1). 11.При яких значеннях м та С пряма (х - 2)/m=(y+1 )/4=(z - 5)/ -3 перпендикулярна до площини 3х - 2y+Cz+l=0 ?(Вíдп: m= -6, С=l,5).

12.Скласти рівняння прямої, що проходить через початок координат паралельно прямій х=2t+5,у= -3t+l,z= -7t 4.

(Вiдп: х/2=у/ ֊З=z/ -7).

1З.Перевірити, чи лежать на одній прямій точки А(0,0,2), В(4,2,5), С(12,6,ll).(Вiдп: лежать).

14.Скласти рівняння прямої, що проходить через точку

М (2, -5,3) паралельно прямій 2х - у+3z - l=0.

(Вiдп: (х - 2)/ -1 l=(у+5)/17=(z -3)/13)

15.Скласти рівняння прямоi, що проходить через точку

М(2, -3,4) перпендикулярни до прямих (х+2)/l=(у -3)/ -l=(z+l)/1 і (х+4)/2=у/l=(z - 4)/ -3.

(Вiдп: (х - 2)/2=(у+3)/5=(z - 4)/З).

16.При яких значеннях А та В площина Ах+Ву+6z - 7=0 перпендикулярна до прямої (х - 2)/2=(y+5)/ -4=(z+1 )/З. (Вiдп: А=4,В= -8).

17.Показати , що пряма х/6=(у -3)/ -8=(z -1)/ -9 паралельна площині х+3у -2z+i=0, а пряма x=t+7, у=t - 2, z=2t+1 лежить в цій площинi.

18.Скласти рівняння площини, що проходить через вісь Оz та точку К( - 3,1, - 2).(Вiдп: x+3y=0).

19.Показати , що прямі х/l=(у -1)/ - 2=z/3 і 3х+у -5z+l=0, 2х+Зу - 8z+З=0 перпедикулярнi.

20.При якому значенні D пряма Зх -у+2z - 6=0,x+4y -z+D=0 перетинає вісь Оz?(Вiдп: D=З).

21 .При якому значенні р прямі

x=2t+5, x+3y+z+2=0,

y=-t+2, та

z=рt - 7, х - у - Зz - 2=0

паралельні ? (Вiдп: р=5).

22.Знайти точку перетину прямоì (х - 7)/5=(у - l)/l=(z - 5)/4 та площини Зх - у+2z - 8=0.

(Вiдповідь: М(2,0,1)

23.Скласти рівняння площини, що проходить через точку K(2, - 5,3) паралельно площині Охz.

(Вiдповідь:у+5=0)

. 24.Скласти загальні рівняння прямої, що утворена перетином площини х+2у - z+5=0 з площиною , що проходить через вісь Оу та точку М(5,З,2).

(Вiдповідь: х÷2у ­ z=0,2х - 5z=0).

25.При яких значеннях В і D пряма х - 2у+z ֊ 9=0,3х+Ву+z+D=0 лежить в площині Оху ?

(Вiдповідь: В= -6, D= -27).

26.Скласти рівняння площини, що проходить через точку МО(2,3,3) паралельно двом векторам а=( -1, - 3,1) і b=(4,l,6).

(Вiдповідь: 19х- 10у- 11z+25=0).

27.Скласти рівняння прямої, що проходить через точку Е(3,4,5) паралельно вісі Ох,

(Вiдповідь: (х - 3)/1=(у - 4)/0=(z - 5)/0).

28.Скласти рівняння прямої, що проходить через точку М(2,3,1) перпендикулярно до прямоī (х+1)/2=у/ - 1=(z ­ 2)/3.

(Відповідь: (х - 2)/3=(у - 3)/3=(z -1)/ -1).

29.Скласти канонічне рівняння прямої, що проходить через точку М(1, - 5,3) перпедикулярно до прямих х/2=(у-2)/3=(z+1)/ - 1 і x=3t+l,y= -t - 5,z=2t+3.

(Вiдповідь: (х - l)/5=(y+5)/ - 7=(z -3)/ - 11).

30.Знайти точку, симетричну точці М(4,З,10) відносно прямої (х - 1)/2=(у - 2)/4=(z - 3)/5.

(Відповідь: М_l(2,9,6)

Практична робота№6

Тема: Криві другого порядку: коло, еліпс, гіпербола, парабола.

Мета: Навчитись знаходити криві другого порядку.

Вирішення типового варіанту.

1. Скласти канонічне рівняння: а) еліпса, велика напівось якого дорів­нює 3, а фокус знаходиться в точці F( , 0); б) гіперболи з уявною на-півосью, яка дорівнює 2, та фокусом F(- , 0); в) параболи, яка має ди­ректрису х = -3

Хід роботи:

1. Скласти канонічні рівняння:

а) еліпса; б) гіперболи; в) параболи

(А, В - точки, які лежать на кривій, F - фокус, а - велика (дійсна) напівось, b - мала (уявна) напівось, є - ексцентриситет, у = ± kх - рівняння асимптот гіперболи, D - директриса кривої, 2с - фокусна відстань).

1.1. а) b=15, Ғ(-10, 0); б) а = 13, ε= 14/13; в) D: х = —4.

1.2. а) b= 2, F(4 , 0); б) а = 7, ε= /7; в) D: х = 5.

1.3. а) A(3, 0), В(2, /3); б) κ = 3/4, ε = 5/4; в) D: у=-2.

1.4. a) ε=֊ /5, А (-5, 0); б) А( , 3), B(4 ,3 ) в) D׃ у= 1.

1.5. а) 2α = 22, ε= /11; б) k == 2/3, 2с =10 ;

в) ось сiметрiï Ох та А(27, 9).

1.6. а) b= , ε= /25; б) k = 3/4, 2α=16;

в) ось сiметрiï Ох та А (4, —8).

1.7. а) α = 4, F = (3, 0); б) b = 2 , F(-11, 0); в) D: х= - 2.

1.8. а) b=4, F = (9, 0); б) а = 5, ε = 7/5; в) D :х = 6.

1.9. а) A(0, ), B( , 1); б) k= /10, ε =11/10; в) D: y= -4.

1.10. а) ε = 7/8, A (8,0); б) A(3, - ), B( , 6); в) D: y = 4.

1.11. а) 2α = 24, ε= /6; б) k= , 2c=10; в) вісь сiметрiï Ох та

A ( - 7, -7).

1.12. а) b = 2, ε = 5 /29; б) k = 12/13, 2α = 26; в) вісь сiметрiï Ох та

А( - 5, 15).

1.13. а) α = 6, F (-4, 0); б) b = 3, F(7, 0); в) D: х = -7

1.14. а) b = 7, F (5, 0); б) α = 11, ε = 12/11; в) D: х=10.

1.15. а) А ( - , 1/3), В ( , 1/2); б) k= 1/2, = /2; в) D: у = -1.

1.16. а) ε = 3/5, A (0, 8); б) A( , 0), B(-2 , 1); в) D:y = 9.

1.17. a) 2α = 22, ε= 10/11; б) k= /5, 2c=l2; в) ось сіметрії Ox та ׀

Α(- 7, 5).

1.18. a) b=5, ε= 12/13; б) k=l/3, 2a = 6; в) ось сіметрії Oy та A(-9, 6).

1.19. a) α = 9, F(7, 0); б) b = 6, F(I2, 0); в) D: x = - l/4.

1.20. a) b = 5, F(-10, 0); б) α=9, ε = 4/3; в) D: x= 12.

1.21. a) A(0, -2), B( /2,1); б) k = 2 /9, ε= 11/9; в) Ճ) D: y = 5.

1.22. a) ε = 2/3, A ( -6, 0); б) A ( , 0), B (֊ /3, 2); в) D: y=1.

1.23. a) 2α = 50, ε = 3/5; б) k= /14, 2c = 30; в) ось сіметрії Oy та

A (4, 1).

1.24. а) b = 15, ε = 7/8; б) k = 5/6, 2α == 12; в) ось

симетрії Oy та А(-2, 3 ).

1.25. а) α=13, F( - 5, 0); б) b=44, F( - 7, 0); в) D: х= —3/8.

1.26. а) b = 7, F(13, 0); б) b = 4, F(-11, 0); в) D: x=13

1.27. а) A( -3, 0), B(1, /3); б) k= , ε = /3; в) D: y = 4.

1.28. а) ε = 5/6, A (0, - ); б) A( , 1), В(֊ , 0); в) D:y=-3.

1.29. а) 2α = 30, ε= 17/15; б) k= /8, 2с=18; в) ось сіметрії Oy та ׀

A (4, -10).

1.30. а) b=2 , ε = 7/9; б) k= /2, 2α=12; в) ось сіметрії Oy та ı

A( - 45, 15).

2. Записати рівняння кола, яке проходить через указані точки і має центр в точці А.

2.1. Вершини гіперболи 12 - 13у²= 156, А(0,-2).

2.2. Вешини гіперболи 4х² - 9у² = 36, А(0, 4).

2.3. Фокуси гіперболи 24у² - 25х² = 600, А(0, -8).

2.4. О(0, 0), А - вершина параболи у² = 3(х - 4).

2.5. Фокуси еліпса 9х² + 25у² = 1, А(0, 6).

2.6. Лівий фокус гіперболи 3х² - 4у² = 12, А(0, -3).

2.7. Фокуси еліпса Зх² + 4у² =12, А - його вехня вершина.

2.8. Вершину гіперболи х²-16у² = 64, A(0,-2).

2.9. Фокуси гіперболи 4х² - 5у² = 80, А(0,4).

2.10. О(0, 0), А - вершина параболи у² = -(х + 5)/2.

2.11. Правий фокус еліпса 33х² + 49у²= 1617, А(1, 7).

2.12. Лівий фокус гіперболи 3х² - 5у² = 30, А(0, 6).

2.13. Фокуси еліпса 16х² + 41у² = 656, А-його нижня вершина.

2.14. Вершину гіперболи 2x²-9y²=18, А(0,4).

2.15. Фокуси гіперболи 5x²-11y² = 55, А(0, 5).

2.16. В( 1,4), А-вершина параболи у² = (х-4)/3.

2.17. Лівий фокус еліпса 3x² + 7y² = 21, A(-l,-3).

2.18. Ліву вершину гіперболи 5x²-9y² = 45, А(0,-6).

2.19. Фокуси еліпса 24х² - 25у² = 600, А-його верхня вершина.

2.20. Праву вершину гiперболи 3х²-16y²-48, А(1, 3).

2.21. Лівий фокус гіперболи 7x²-9y² = 63, A(-l,-2).

2.22. В(2, -5), А- вершина параболи х² = -2(у +1).

2.23. Правий фокус еліпса х² + 4у² = 12, А(2, -7).

2.24. Праву вершину гіперболи 40х² - 81y² = 3240, A(-2, 5).

2.25. Фокуси еліпса х² + 10у² = 90, А- його нижня вершина.

2.26. Праву вершину гіперболи 3х² - 25у² = 75, A(-5, -2).

2.27. Фокуси гіперболи 4х² - 5у² = 20, А(0, -6).

2.28. В(3, 4), А - вершина параболи у² = (х + 7)/4.

2.29. Лівий фокус еліпса 13x² + 49y² = 837, А(1, 8).

2.30. Правий фокус гіперболи 57х² - 64у² = 3648, А(2, 8).