Практична робота №1

Тема: Обчислення визначників

Мета: Навчитися обчислювати визначники застосовуючи правило трикутника та властивості визначників.

Короткі методичні вказівки:

Нехай дана матриця другого порядку – квадратна матриця, що складається із двох рядків і двох стовпців .

Визначником другого порядку, що відповідає даній матриці, називається число, отримане таким способом: a₁₁a₂₂ – a₁₂a₂₁.

Визначник позначається символом .

Визначником третього порядку, що відповідає даній квадратній матриці третього порядку, називається число, яке позначається й отримується такий способом:

.

Таким чином, ця формула дає розкладання визначника третього порядку по елементах першого рядка a₁₁, a₁₂, a₁₃ і зводить обчислення визначника третього порядку до обчислення визначників другого порядку.

Аналогічно можна ввести поняття визначників четвертого, п'ятого й т.д. порядків, знижуючи їх порядок розкладанням по елементах 1-ої рядка, при цьому знаки "+" й "-" у доданків чергуються.

АЛГЕБРАЇЧНІ ДОПОВНЕННЯ Й МІНОРИ

Нехай маємо визначник третього порядку: .

Мінором, що відповідає даному елементу a_ij визначника третього порядку, називається визначник другого порядку, отриманий з даного викреслюванням рядка й стовпця, на перетинанні яких коштує даний елемент, тобто i-ої рядка й j-го стовпця. Мінори відповідному даному елементу a_ij будемо позначати M_ij.

Наприклад, мінором M₁₂, що відповідає елементу a₁₂, буде визначник , що виходить викреслюванням з даного визначника 1-ої рядка й 2-го стовпця.

Таким чином, формула, що визначає визначник третього порядку, показує, що цей визначник дорівнює сумі добутків елементів 1-ої рядка на відповідні їм мінори; при цьому мінор, що відповідає елементу a₁₂, береться зі знаком “–”, тобто можна записати, що

.

(1)

Аналогічно можна ввести визначення мінорів для визначників другого порядку й вищих порядків.

Введемо ще одне поняття.

Алгебраїчним доповненням элемента a_ij визначника називається його мінор M_ij, помножений на (–1)^i+j.

Алгебраїчне доповнення елемента a_ij позначається A_ij.

З визначення одержуємо, що зв'язок між алгебраїчним доповненням елемента і його мінором виражається рівністю A_ij = (–1)^i+jM_ij.

Наприклад,

Легко бачити, що використовуючи алгебраїчні доповнення елементів, формулу (1) можна записати у вигляді:

.

Аналогічно цій формулі можна одержати розкладання визначника по елементах будь-якого рядка або стовпця.

Наприклад, розкладання визначника по елементах 2-го рядка можна одержати в такий спосіб. Відповідно до властивості 2 визначника маємо:

Розкладемо отриманий визначник по елементах 1-го рядка.

(2)

Звідси , тому що визначники другого порядку у формулі (2) є мінори елементів a₂₁, a₂₂, a₂₃. Таким чином, , тобто ми одержали розкладання визначника по елементах 2-го рядка.

Аналогічно можна одержати розкладання визначника по елементах третього рядка. Використовуючи властивість 1 визначників (про транспонування), можна показати, що аналогічні розкладання справедливі й при розкладанні по елементах стовпців.

Таким чином, справедлива наступна теорема.

Теорема (про розкладання визначника по заданому рядку або стовпцю). Визначник дорівнює сумі добутків елементів якого-небудь його рядка (або стовпця) на їхні алгебраїчні доповнення.

Все вищесказане справедливо й для визначників кожного більше високого порядку.

Розв’язок типового варіанту:

1. Обчислити визначник застосовуючи правило трикутника.

2. Обчислити визначник розклавши його по елементах 1-го рядка.

. Знайдемо алгебраїчні доповнення до елементів 1-го рядка.

Тоді заданий визначник буде дорівнювати:

3. Обчислити визначник зробивши нулі у першому стовпці.

(помножимо перший рядок на –5 та додамо до другого)

(помножимо перший рядок на –2 та додамо до третього)

=(тепер розкладемо визначник по елементах першого стовпця)

Зауваження. Перед тим, як виконувати завдання 3, необхідно переставити рядки або стовпці визначника так, щоб на місті елемента A₁₁ стояла цифра 1 або –1.

4. Для даного визначника

знайти мінори та алгебраїчні доповнення елементів ₁₂, ₃₂. Обчислити визначник ₁: а) розклавши його за елементами першої строки; б) розклавши його за елементами другого стовпця; в) попередньо отримавши нулі у першій строчці.

Знаходимо:

Алгебраїчне доповнення елементів ₁₂ та ₃₂ відповідно дорівнюють

A₁₂=(-1)¹⁺²M₁₂=-(-18)=18 A₃₂=(-1)³⁺²M₃₂=-(-20)=20

а) Обчислюємо

б)Розкладемо визначник по елементам другого стовпчика:

в) Обчислимо ₁ попередньо отримавши нулі у першій строчці. Помножимо третій стовпець визначника на 3 та додамо до першого, потім помножимо на –2 та додамо до другого. Тоді у першій строчці усі елементи, крім одного будуть нулями. Розкладемо отриманий таким чином визначник по елементам першої строки та обчислимо його:

У визначнику третього порядку отримали нулі у першому стовпці.

Індивідуальні завдання: