31.Сформулировать и доказать теорему о кинетической энергии механической системы различных формах.

Система N материальных точек. Масса k-ой точки - . К каждой k-ой точке системы (k = 1, 2, ..., N) прилож. равнодействующие внешних и внутренних сил.

ДУ движения: или (1). Т.к. масса постоянна внесём ее под знак производной и умножим (1) скалярно на : (2). Внося под знак производной, суммируем (2) по k и поменяем знаки суммир. и дифференцир. местами: или (2): производная по времени от кинетической энергии системы равна сумме мощностей всех действующих на систему внешних и внутренних сил.

Умножим (2) слева и справа на dt и учтём, что : или (3): дифференциал кинетической энергии механической системы равен сумме элементарных работ всех действующих на систему внешних и внутренних сил.

Проинтегрируем обе части (3) от нач. положения системы до конеч., изменяя порядок суммир. и интегрир.: или : изменение кинетической энергии механической системы при ее перемещении из одного положения в другое равно сумме полных работ всех действующих на систему внешних и внутренних сил на соответствующем перемещении.

32.Дать определение потенциального силового поля. Доказать свойства стационарного потенциального силового поля.

Силовое поле - часть пространства, в кот. на движущуюся материальную точку действуют силы, зависящие от корд. точки и t, но не зависящие от скорости.

Если сила явно не зависит от t, то силовое поле - стационарное.

Ф-ция зависит только от координат, частные производные от этой ф-ции по координатам равны проекциям силы силового поля на соотв. оси: ; ; (1)

Ф-ция , удовл. условиям (1), наз. силовой функцией данного силового поля, а само силовое поле наз. пот. (консервативным).

- .

Элемент. работа силы стационарного пот. поля равна полному дифф. силовой ф-ции.

- (2)

Полная работа силы стационарного пот. поля не зависит от формы траектории, по которой перемещается точка, и опред. нач. и конеч. положениями точки.

- Из (2): что работа силы стационарного пот. поля по любому замкнутому перемещ. равна нулю. Силовая ф-ция может принимать другие значения после возвращения в начальную точку в зависимости от числа обходов, если внутри замкнутого конура есть особые точки.

- Чтобы стационарное силовое поле было пот. оно должно быть безвихревым:

; ; или кратко: rot

Докажем: для производных высших порядков, порядок дифф. значения не имеет: , аналогично и остальные.

33.Дать определение поверхности уровня потенциального силового поля и доказать их свойства.

Пов. уровня (эквипотенциальная пов.) - геометрическое место точек пот. силового поля, для которых значения силовой ф-ции постоянно. Ур-е пов.: .

- Нач. и конеч. точка перемещ. лежат на одной пов. уровня, то работа стационарного пот. поля по перемещ. точки равна нулю. .

- Сила пот. поля направлена по нормали к пов. уровня. Точка движется по пов. уровня и движение точки задано корд. способом. Должно выполняться тождество: . Продифф. по t: . Учитывая: ; ; и ; ; , имеем: или - условие перпендикулярности векторов .

- Сила в пот. силовом поле напр. в сторону возрастающих значений силовой ф-ции.

Точка М перемещ. с пов. уровня на другую пов. уровня . Работа силы равна С₂ - С₁. Если С₂ > С₁, то работа будет положит. => приложенная к точке сила направлена в сторону перемещ., то есть в сторону возрастания силовой ф-ции . Если С₂ < С₁, то работа отрицат. => приложенная к точке сила направлена в сторону, обратную перемещ., то есть снова в сторону возрастания силовой ф-ции .

- Если силовое поле разбить пов. уровня, то там, где соседние пов. уровня ближе друг к другу, величина силы больше, чем в местах, где пов. уровня дальше друг от друга, так как работа между точками соседних пов. в этом случае одна и та же. Силовая линия - кривая, касат. к которой в каждой точке совпадает с направл. силы поля в этой точке. Вектор направлен по касат., из условия паралл. и следует: - ДУ силовой линии стационар. поля. Для пот. поля: .