53.Линейное сопротивление и диссипативная функция. Доказать приближенную формулу диссипативной функции системы с одной степенью свободы при малых отклонениях от положения устойчивого равновесия.
Диссипативная
функция Релея:
(1)
Радиус-вектор
каждой точки системы зависит только от
обобщенной координаты q(t):
.
,
следовательно,
.
B(q) разложим в степенной ряд в окрестности положения равновесия ( ):
,
а затем учтем в этом разложении только
первый член, так как диссипативная
функция Релея уже содержит в себе
величину второго порядка малости
.
Обозначим этот член через «b»,
который назовем обобщенным коэффициентом
сопротивления. Размерность коэффициента
сопротивления зависит от размерности
обобщенной координаты.
Окончательно
приближенное значение диссипативной
функции Релея:
.
54.Сформулировать и доказать физический смысл диссипативной функции.
На механическую систему действуют только потенциальные силы, запишем для неё теорему о Т:
(1), где:
Полученные выражения
подставим в (1):
или
.
При отсутствии внешнего возмущения, удвоенное значение диссипативной функции равно скорости убывания полной механической энергии системы.
55.Вывести дифференциальное уравнение свободных движений механической системы с одной степенью свободы с учетом сил сопротивления. Изложить его решение в случае малого сопротивления.
Определяем положение системы обобщенной координатой q, при равновесии .
Уравнением Лагранжа
II
рода:
(1)
Так как равновесие
устойчиво, а возмущения малы, для Т, П и
Ф воспользуемся выражениями:
,
,
.
Находим:
(2).
Поставляя (2) в (1),
получим:
,
где:
= const,
круговая или циклическая частота
собственных колебаний системы без учета
сил сопротивления,
= const,
коэффициент затухания. Размерности у
«n»
и «k»
одинаковые (
).
- ОЛДУ II порядка с постоянными коэффициентами.
Его характеристическое
уравнение:
Характер движения системы зависит от соотношения между величинами «n» и «k».
n<k
Случай малого сопротивления. Характеристическое уравнение имеет два различных комплексных корня. Гармонические колебания.
Постоянные A,
,
и
определяются из начальных условий:
.
56.Вывести дифференциальное уравнение свободных движений механической системы с одной степенью свободы с учетом сил сопротивления. Изложить его решение в случаях критического и большего сопротивления.
Определяем положение системы обобщенной координатой q, при равновесии .
Уравнением Лагранжа II рода: (1)
Так как равновесие устойчиво, а возмущения малы, для Т, П и Ф воспользуемся выражениями: , , . Находим: (2).
Поставляя (2) в (1), получим: , где: = const, круговая или циклическая частота собственных колебаний системы без учета сил сопротивления, = const, коэффициент затухания. Размерности у «n» и «k» одинаковые ( ).
- ОЛДУ II порядка с постоянными коэффициентами.
Его характеристическое уравнение:
Характер движения системы зависит от соотношения между величинами «n» и «k».
n=k
Случай критического сопротивления. Характеристическое уравнение имеет два кратных корня. Апериодическое движение.
n>k
Случай большого сопротивления. Характеристическое уравнение имеет два действительных корня. Апериодическое движение.
Постоянные и определяются из начальных условий: .