50.Доказать приближенную формулу кинетической энергия системы с одной степенью свободы при малых отклонениях от положения устойчивого равновесия.

Система, на которую наложены голономные, идеальные удерживающие и стационарные связи, состоит из N материальных точек и движется около положения устойчивого равновесия системы, где .

Кинетическая энергия системы: .

Радиус-вектор каждой точки системы зависит только от обобщенной координаты q(t): . , следовательно, кинетическая энергия равна: (1).

Разложим функцию A(q) в окрестности положения равновесия ( ) в ряд Маклорена:

(2).

Все величины вычислены при . В силу малости колебаний в выражении (1) удержим величины не выше II порядка малости, но так как в нем уже содержится величина II порядка - , то в разложении (2) удержим только первый постоянный член, который обозначим «a». Приближенное выражение кинетической энергии: . «а» - коэфф. инерции. - квадрат обобщенной скорости.

51.Доказать приближенную формулу потенциальной энергия системы с одной степенью свободы при малых отклонениях от положения устойчивого равновесия.

Система, на которую наложены голономные, идеальные удерживающие и стационарные связи, состоит из N материальных точек и движется около положения устойчивого равновесия системы, где .

Разложим потенциальную энергию в степенной ряд в окрестности положения равновесия :

(1).

1-ый член в разложении (1) равен нулю, так как потенциальная энергия в положении равновесия равна нулю.

2-ой член в этом разложении равен обобщенной силе, которая в положении равновесия также равна нулю.

В силу малости колебаний потенциальная энергия должна содержать члены не выше II порядка.

Тогда: .

Коэфф. при второй степени обобщенной координаты обозначим через «с» - обобщенный коэфф. жесткости. С учетом введенного обозначения: .

52.Вывести дифференциальное уравнение свободных колебаний механической системы с одной степенью свободы. Изложить его решение. Дать определение изохронизма свободных колебаний.

- Определяем положение системы обобщенной координатой q, при равновесии .

Уравнение Лагранжа II рода:

(1).

Так как равновесие устойчиво, а возмущения малы, для Т и П воспользуемся выражениями: , . Находим: (2).

Подставляя (2) в уравнение (1), получим: , где: = const, круговая или циклическая частота, которая имеет размерность угловой скорости ( ).

- ОЛДУ II порядка с постоянными коэффициентами (3).

Характеристическое уравнение:

Постоянные и определяем из начальных условий: .

Частным решением уравнения (3), которое соотв. начальным условиям будет: .

Приведем решение к амплитудной форме: - закон движения системы.

- Величина периода, как и круговая частота, не зависят от начальных условий, а определяются только свойствами колеблющейся системы, то есть коэффициентом инерции и коэффициентом жесткости. Независимость периода и частоты колебаний от начальных условий называется изохронностью колебаний.