1.Сформулируйте математическую постановку и изложите решение двух основных задач динамики точки.
Первая:
Зная закон движения материальной точки
массы m,
найти равнодействующую всех сил
,
действующих на точку в каждый данный
момент.
Движение точки
задано координатным способом, т.е.
(1). Определив проекции ускорения из
уравнений (1),
запишем ДУ движения точки в проекциях
на декартовы оси координат:
.
Решение сводиться к двукратному
дифференцированию закона движения
точки. Определив три проекции силы
,
мы будем знать ее модуль и направление
в каждый момент времени t.
Вторая: По заданной силе , действующей на материальную точку массы m, требуется определить закон движения точки. Сила и ее проекции могут зависеть от координат, скорости и времени. Запишем ДУ движения точки:
Решение сводиться к интегрированию системы трех ДУ второго порядка. Общее решение этой системы будет содержать 6 произвольных постоянных:
Константы найдём
из начальных условий:
при
.
2.Вывести закон движения материальной точки, брошенной под углом к горизонту.
Материальная точка
М массой m, брошена с поверхности под
углом
к горизонту с начальной скоростью
.
Начальные условия (t
= 0):
(1).
Единственной силой,
является сила тяжести:
,
направленная вниз. Проекции этой силы
на оси координат:
.
ДУ движения точки:
.
Проинтегрируем ДУ
движения точки:
(2)
Интегрируем еще
раз:
(3).
Для определения
постоянных
воспользуемся начальными условиями.
Поставим начальные
условия в (2) и в (3):
Подставим постоянные
в (3):
- закон движения точки.
3.Доказать необходимое и достаточное условия прямолинейного движения материальной точки и записать дифференциальное уравнение её прямолинейного движения.
ДУ свободной материальной точки в проекциях на декартовы оси координат:
(1)
Точка движется по
прямой (ось Ох). Уравнения прямолинейной
траектории точки: y = 0, z = 0 (2), следовательно,
на основании (1):
(3). Равенства (3) означают, что если точка
движется прямолинейно, то равнодействующая
сил имеет постоянное направление и
совпадающее с прямой, вдоль которой
движется точка, то есть в осью Ох.
Необходимое условие (3) не является
достаточным. При условиях (3) уравнения
(1) примут вид:
.
Интегрируем:
.
Ещё раз:
(4). Для опр. постоянных, восп. нач. усл.
(t
= 0):
.
Постоянные:
.
Подставим постоянные в (4):
(5). Из (5) видно, что траектория движения
точки будет прямой, когда:
(6). Из равенств (3) и (6) следует, что
свободная точка движется по прямой
траектории, когда сила, приложенная к
точке, имеет постоянное направление и
начальная скорость точки параллельная
этому направлению.
- ДУ прямолинейного
движения свободной материальной точки.
4.Изложить последовательность интегрирования дифференциального уравнения прямолинейного движения точки в случае, когда сила зависит только от времени.
Мат. точка массой
m движется вдоль оси Ох под действием
.
ДУ прямолинейного движения:
или
,
где
- проекция
на ось Ох.
Разделяем переменные
и интегрируем:
.
Получим:
.
Далее заменяя
,
получаем:
.
Разделяем переменные и интегрируем:
.
Получим:
.
Преобразуем:
- закон прямолин. движения точки.