6. Постановка задач принятия упр.Решений в классе линейных моделей

Существуют определенные правила, которыми следует руководствоваться, чтобы сформулировать задачу.

Постановка управленческой задачи включает в себя 2 элемента:

- Критерии задач (орган управления должен четко сформулировать, что он хочет).

- Ограничения (внешние и внутренние).

Лицо, принимающее решения, имеет возможность влиять на ограничение.

Ф(х) – некоторый критерий.

х – параметры, которые мы пытаемся активизировать.

Задача.

Имеется предприятие по производству колбасы. Мы можем выпускать 2 вида колбасы:

- вареную;

- ветчинно-рубленную.

Цена вареной колбасы 120 руб.

Цена ветчинно-рубленной – 200 руб.

Для производства этих колбас используется 3 вида ресурсов:

- говядина,

- свинина,

- горох.

На складе имеются следующие запасы этих ресурсов:

- говядина – 100 кг.,

- свинина – 60 кг.,

- горох – 200 кг.

Известны нормативы затрат каждого вида ресурса на производство единицы продукции:

Ставится задача: Лицо, принимающее решения, должно составить план выпуска продукции так, чтобы уложиться в ограничение и обеспечить максимум стоимости выпускаемой продукции.

Введем переменные:

x – количество выпускаемой продукции,

j – номер выпускаемой продукции, j=1,2,

Тогда х_j – количество продукции j-го типа, которое мы должны определить.

b – количество ресурса, которым располагает ЛПР.

i – номер ресурса, i=1,3,

Ц_j – цена за 1 ед. j-го типа продукции,

b_i - количество ресурсов i-го типа, которыми распоряжается ЛПР,

а – норматив затрат ресурса,

а_ij – показывает сколько единиц i-го ресурса требуется для производства 1 шт. j-той продукции.

Задачи, в которых переменные и критерии и в ограничениях находятся в первой степени, называются задачами линейного программирования.

Задача в общем виде:

- количество говядины, которая потребуется, чтобы реализовать нашу продукцию,

- количество свинины, которая потребуется, чтобы реализовать нашу продукцию,

- количество гороха, который потребуется, чтобы реализовать нашу продукцию.

Общий вид задачи:

120х₁ + 200х₂ → max

0,7х₁ + 0,3х₂ ≤ 100

0,2х₁ + 0,6х₂ ≤ 60

0,1х₁ + 0,1х₂ ≤ 200.

Решим задачу методом геометрической интерпретации:

ОДС₁ – если смотреть на задачу через призму только 1-го ограничения (говядины),

ОДС₂ – если смотреть на задачу через призму только 2-го ограничения (свинины).

Построим прямую Ф=0. Точка, максимально удаленная от прямой Ф=0 – точка оптимума.

Оптимальное решение находится на пересечении условий (пересечение условий говядины и свинины).

0,7х₁ + 0,3х₂ = 100

0,2х₁ + 0,6х₂ = 60,

Точка оптимума имеет координаты

х₁ = 117

х₂ = 61

Резерв по ресурсу – это разность между запасами с сколько надо потратить.

у ₁ = 0

у₂ = 0 резервные ресурсы.

У₃ ≠ 0 – недефицитны ресурс.

7. Анализ управленческих решений методами теории чувствительности

Продифференцируем данную систему по :

или с учетом :

Откуда . Продифференцируем данную систему по с учетом, что

Коэффициенты чувствительности , показывают, на сколько измениться значение целевой функции при увеличении запаса ого ресурса на единицу.

Рассчитаем коэффициенты чувствительности целевой функции к вариациям «дефицитных» ресурсов.

Предположим, что запас третьего ресурса увеличился на 30 единиц. Как это повлияет на управленческое решение, а именно на оптимальную производственную программу и прибыль?

При увеличении запаса третьего ресурса на 30 единиц, оптимальный объем производства первой продукции уменьшится на 45 единиц.

При увеличении запаса третьего ресурса на 30 единиц, оптимальный объем производства второй продукции увеличится на 30 единиц

При увеличении запаса третьего ресурса на 30 единиц, максимальное значение прибыли увеличится на 32,85 единиц

Следовательно, если запас первого ресурса уменьшится на 130 единиц или изменится на (-290/0), произойдет смена опорного базиса системы (Рис.11). В первом случае первая продукция станет «невыгодной», во втором второй ресурс дефицитным.

Следовательно, если запас третьего ресурса уменьшится на 290 или увеличится на 43,33 единиц, произойдет смена опорного базиса системы (Рис.11). В первом случае вторая продукция станет невыгодной, а во втором первая продукция станет невыгодной.

При изменении запаса второго (недефицитного) ресурса смена опорного базиса не произойдет (рис.11). Из выражения (3.10) следует, что