- •Матрицы. Основные понятия. Линейные операции над матрицами и их свойства
- •Определитель (детерминант) матрицы. Свойства определителя
- •Матричная запись системы линейных уравнений и ее решение
- •Решение невырожденных линейных систем. Формулы Крамера
- •Ранг матрицы. Свойства ранга матрицы. Вычисление ранга матрицы с помощью элементарных преобразований.
- •Теорема Кронекера-Капелли. Решение произвольных линейных систем
- •Система однородных линейных уравнений
- •Решение систем линейных уравнений методом последовательного исключения неизвестных (метод Гаусса)
- •Вектор. Проекция вектора на ось
- •Линейные операции над векторами
- •Линейная зависимость и независимость системы векторов
- •Теорема об единственности разложения вектора по базису. Координаты вектора. Декартова система координат.
- •Механический смысл скалярного произведения
- •Ортонормированный базис. Выражение скалярного произведения через координаты в ортонормированном базисе
- •Векторное произведение векторов и его свойства
- •Гипербола. Определение. Вывод канонического уравнения. Исследование формы гиперболы
- •Подпоследовательность. Теорема Больцано-Вейерштрасса
- •Бесконечно малые и бесконечно большие функции. Связь между бм и бб функциями
- •Непрерывность функции в точке. Определение. Свойства функций, непрерывных в точке
- •Непрерывность функции на отрезке
- •Свойства функций, непрерывных на отрезке
- •Производная. Определение. Механический и геометрический смысл производной
- •Дифференцируемость функции. Определение. Теорема о непрерывности дифференцируемой функции
- •Основные правила дифференцируемости
- •Производная сложной функции
- •Производная обратной функции
- •Производная основных элементарных функций
- •Выпуклость и вогнутость. Точки перегиба. Достаточные признаки выпуклости и вогнутости графика функции
- •Асимптоты. Необходимые и достаточные признаки точки перегиба. График функции
- •Наименьшее и наибольшее значение непрерывной на отрезке функции
- •Общий план исследования функции и построение ее графика
Выпуклость и вогнутость. Точки перегиба. Достаточные признаки выпуклости и вогнутости графика функции
График дифференцируемой функции y=f(x) называется выпуклым, если он расположен ниже любой ее касательно и наоборот, он называется вогнутым, если она расположен выше любой ее касательной
Если функция y=f(x) во всех точках интервала имеет отрицательную вторую производную, то график функции выпуклый, если наоборот то вогнутый.
Достаточное условие:
Если вторая производная при переходе через точку х0, в которой она равна нулю или не существует, меняет знак, то графика с абсциссой х0 есть точка перегиба
Асимптоты. Необходимые и достаточные признаки точки перегиба. График функции
Асимптота кривой – прямая, расстояние до которой от точки, лежащей на кривой, стремится к нулю при неограниченном удалении
Достаточное условие:
Если вторая производная при переходе через точку х0, в которой она равна нулю или не существует, меняет знак, то графика с абсциссой х0 есть точка перегиба
Необходимое условие
Пусть график функции y = f(x) имеет перегиб в точке M(x0;f(x0)) и имеет при x=x0 непрерывную вторую производную, тогда выполняется равенство f`(x0)=0
Наименьшее и наибольшее значение непрерывной на отрезке функции
Наибольшим значением функции y = f(x) на промежутке X называют такое значение , что для любого х ≠ х0 справедливо неравенство f(x) ≤ f(x0) Наименьшим значением функции y = f(x) на промежутке X называют такое значение , что для любого х ≠ х0 справедливо неравенство f(x) ≥f(x0).
Общий план исследования функции и построение ее графика
Найти область определения
Найти точки пересечения графика с осями координат
Найти интервалы знакопостоянства функции (f(x)>0 или f(x)<0)
Выяснить является ли функция четной, нечетной, общего вида
Найти асимптоты графика функции
Найти интервалы монотонности
Найти экстремумы
Найти интервалы выпуклости и точки перегиба функции