Бесконечно малые и бесконечно большие функции. Связь между бм и бб функциями

Функция y=f(x) называется бесконечно малой при x→a или при x→∞, если   или  , т.е. бесконечно малая функция – это функция, предел которой в данной точке равен нулю.

Бесконечно большая функция числовая функция или последовательность, которая стремится к бесконечности определённого знака.

Если f (x) — бесконечно большая функция, то   есть бесконечно малая функция в этой же точке. И наоборот

Теорема о разности между функцией и ее пределом

Эта теорема устанавливает связь между пределом функции и бесконечно малой, и смысл её прост: если число А есть предел функции, то разность между пределом и функцией есть бесконечно малая величина.

Если функция имеет предел равный А, то ее можно представить в виде суммы числа А и бесконечно малой функции

Ограниченная функция. Теорема об ограниченности функции

Ограниченная функция - это функция, область значений которой целиком заключена в некотором конечном интервале

Если функция имеет конечный предел, при х→х₀, то функция ограничена в окрестности предельной точки х₀

Теорема о произведении бесконечно малой функции на ограниченную

Произведение бесконечно малой функции на ограниченную есть функция бесконечно малая

Теорема о делении бесконечно малой функции на функцию, предел которой отличен от 0

деление бесконечно малой функции на функцию, предел которой отличен от 0, есть бесконечно малая функция

Теорема об единственности предела функции. Теорема о существовании предела

Функция может иметь только один придел при х→х₀

Если функция (промежуточная) f(x) заключена между двумя функциями , стремящимися к одному и тому же пределу, то она тоже к нему стремится

Если функция (монотонная) f(x) монотонна и ограничена x<x₀ или x>x₀, то существует соответственно левый и правый ее предел

Теорема сравнения

Если в окрестности одна функция меньше другой и они имеют предел, то f(x)<g(x) → <

Если функция в окрестности ограничена слева и справа функциями имеющими равные пределы, то существует предел у внутренней функции и он равен двум другим

Предел суммы, произведения, частного

Предел суммы (разности) двух функций равен сумме (разности) их пределов

Предел произведения двух функций равен произведению их пределов

Предел дроби равен пределу числителя на предел знаменателя, при том что знаменатель не равен 0

Теорема о промежуточной функции

Промежуточная функция f(x) заключена между двумя функциями , стремящимися к одному и тому же пределу, то она тоже к нему стремится

Первый замечательный предел

Предел отношения синуса к его аргументу равен единице, когда аргумент стремиться к нулю

Второй замечательный предел

Второй замечательный предел имеет вид:

или в другой записи

Сравнение бесконечно малых функций. Эквивалентные бесконечно малые функции

Две бесконечно малые функции сравнивают с помощью отношения

Если =A 0, α и β считают бесконечно малыми одного порядка

Если =0, то α считают бесконечно малой более высокого порядка чем β

Если = , то α считают бесконечно малой более низкого порядка чем β

Если , то α и β считают несравнимыми бесконечно малыми

Эквивалентные если =1

Свойства эквивалентных бесконечно малых функций

Предел отношения двух бесконечно малых функций равен пределу двух бесконечно малых функций им эквивалентных

Разность двух эквивалентных бесконечно малых функций есть бесконечно малая более высокого порядка, чем каждая из них (справедливо и обратное утверждение)

Сумма конечного числа бесконечно малых функций разных порядков эквивалентна слагаемому низшего порядка