Механический смысл скалярного произведения

A=

A= cosφ

Ортонормированный базис. Выражение скалярного произведения через координаты в ортонормированном базисе

Базис называется ортонормированным, если его векторы попарно ортогональны и равны единице.

Скалярное произведение через координаты: (a,b)=a_xb_x+a_yb_y+a_zb_x

Векторное произведение векторов и его свойства

Векторное произведение векторов (неколлинеарных, a и b) – это вектор N, ортогональный a и b , длина которого равна площади параллелограмма образованного векторами a и b, и направлен так, что базис (a,b,N) имеет правую ориентацию.

Св-ва: (а*а)=0

антикоммутативности (a*b)=-(b*a)

Сочетательное (γa*b)=γ(a*b)

Дистрибутивности ((a+b)*c)=(a*c)+(b*c)

Векторное произведение векторов в координатах вычисляется матрицей и с первой строкой i,j,k

Механический смысл векторного произведения

В механике с помощью векторного произведения вычисляется момент силы относительно точки пространства.

Моментом силы F , приложенной к точке B, относительно точки А называется векторное произведение (AB*F).

Векторное произведение в координатах

Векторное произведение векторов в координатах вычисляется матрицей и с первой строкой i,j,k

Приложения векторного произведения в геометрии и механики

В геометрии находят площадь параллелограмма и треугольника (половина параллелограмма) S=N=(a*b)

А в механике момент силы относительно некоторой точки

Смешанное произведение, геометрический смысл. Свойства смешанного произведения.

Смешанное произведение – это произведение трех векторов

Смешанным произведением трех векторов a, b, c называется число равное векторному произведению a * b, умноженному скалярно на вектор c

Св-ва: 1) Перестановка любых двух сомножителей меняет знак произведения

2) Если смешанное произведение = 0, то векторы компланарны

3) Если векторы заданы собственными координатами, то произведение вычисляется матричным способом

4) Операция скалярного и векторного умножения смешанного произведения можно менять местами

5) Можно вынести числовой множитель

Геометрический смысл заключается в нахождении объема параллелепипеда и тетраэдра (1/6 объема параллелепипеда)

Объём параллелепипеда, построенного на векторах a,b,c, равен модулю смешанного произведения данных векторов

Смешанное произведение в координатах

Если векторы заданы собственными координатами, то произведение вычисляется матричным способом

Условия коллинеарности, ортогональности, компланарности векторов

Условие коллинеарности векторов a(x,y), b(x2,y2)

=

Условие ортогональности: Скалярное произведение должно = 0

(ab)=0

Условия компланарности:

Три вектора компланарны, если их смешанное произведение равно нулю.

Три вектора компланарны, если они линейно зависимы.

Нормальное уравнение плоскости

n⁰r-p=0

Нормально уравнение плоскости в векторной плоскости

xcosα+ycosβ+zcos -p=0

Общее уравнение плоскости. Частные случаи расположения плоскости

Ax+By+Cz+D=0

Частные случаи расположения плоскости

1) D=0 Плоскость проходит через начало координат

2) C=0 или B=0 или A=0, плоскость параллельна оси отсутствующего элемента

3) D=0 и C=0 или B=0 или A=0, плоскость проходит через ось отсутствующего элемента

4) B,C=0 или A,C=0 или A,B=0, плоскость параллельна плоскости отсутствующих элементов

5) D=0 и B,C=0 или A,C=0 или A,B=0, плоскость лежит в плоскости оставшегося элемента

Уравнение плоскости в отрезках

+ + =1

Уравнение плоскости, проходящей через данную точку

A(x-x₀)+B(y-y₀)+C(z-z₀)=0

Уравнение плоскости, проходящей через 3 точки

(Матрица)

Угол между плоскостями. Условия параллельности и перпендикулярности прямых

Ax+By+Cz+D=0 n(A,B,C)

cosφ=

Если плоскости параллельны, то n2 следовательно = =

Если плоскости перпендикулярны, то n1 n2, n1n2=0 A1A2+B1B2+C1C2=0

Расстояние от точки до плоскости

D=

Общее уравнение прямой в R³

Прямая как пересечение двух плоскостей

Векторное уравнение прямой

R=ts+r₀

Параметрическое и каноническое уравнение прямой

Параметрическое

r₀(x₀,y₀,z₀)

s(m,n,p)

r(x,y,z)

Каноническое (исключаем параметр t)

= =

Cosα=m/׀s׀

Уравнение прямой проходящей через две заданные точки

Приведение общего уравнения прямой к каноническому виду

S=n1*n2

S=

Угол между прямыми. Условие параллельности и перпендикулярности

Cosφ=

s1 , то

s1⊥s2, то m1m2+n1n2+p1p2=0

Прямая линия на плоскости. Нормальное уравнение прямой

Ах+Ву+D=0

xcosα+ycosβ-p=0

Общее уравнение прямой. Исследование общего уравнения прямой

Ах+Ву+D=0

1) D=0, прямая проходит через начало координат (0,0,0)

2) A=0 или B=0, прямая параллельна оси отсутствующего элемента

3) D=0 и A=0 или B=0, уравнение оси отсутствующего элемента

Уравнение прямой проходящей через данную точку в данном направлении

y - y₁ = k(x - x₁)

Уравнение прямой проходящей через две заданные точки

Угол между прямыми

cosφ=

Условие параллельности и перпендикулярности прямых

Если плоскости параллельны, то n2 следовательно =

Если плоскости перпендикулярны, то n1 n2, n1n2=0 A1A2+B1B2 =0

Уравнение прямой в отрезках

+ + =1

Расстояние от точки до прямой. Уравнение прямой с угловым коэффициентом.

D=

y=kx+b

Угол между двумя прямыми. Условие параллельности и перпендикулярности

y=k1x+b1 k1=tgα1

y=k2x+b2 k2=tgα2

φ=α1-α2

k1=-1/k2

если ⊥ , то φ=0 tgφ=0

если паралл, то k1=k2

Угол между прямой и плоскостью. Условие параллельности и перпендикулярности. Определение точек пересечения.

Ax+By+Cz+D=0

= =

sinφ=

sinφ=

если прямая ׀׀ плоскости s⊥n sn=0 mA+nB+pC=0

если прямая ⊥ плоскости s׀׀n

Определение точек (решить совместно)

Ax+By+Cz+D=0

A(x₀+mt)+B(y₀+nt)+C(z₀+pt)+D=0

Окружность. Определение. Вывод канонического уравнения

Окружность – множество точек в плоскости, стоящих от центра на одно и то же расстояние (r)

О(a,b) центр окружности и ОМ=r, M(x,y)

r²= (x-a)²+(y-b)²

Эллипс. Определение. Вывод канонического уравнения. Исследование формы эллипса

Эллипсом называется множество точек в плоскости, сумма расстояний которых от двух данных точек называемых фокусами, есть величина постоянная, равная 2а, больше чем расстояние между фокусами

=1

Симметрия. Т.к. уравнение эллипса содержит только квадраты текущих координат, он будет симметричен относительно Ох и Оу

Точки пересечения у=0 и х=0

Эллипс расположен в прямоугольнике образованного прямыми х=±а, у=±b

Вывести у

Эксцентриситетом, обозначается ε, называется отношение расстояний между фокусами и длине большей оси эллипса