Матричная запись системы линейных уравнений и ее решение

В матричном виде линейные уравнения записываются как AX=B, где А, коэффициенты при х, х =есть неизвестные, в = их значения. Решаются с помощью обратной матрицы

Решение невырожденных линейных систем. Формулы Крамера

Невырожденной линейной системой называется та, у которой определитель основной матрицы отличен от нуля

И решаться будут как AX=B, где А, коэффициенты при х, х =есть неизвестные, в = их значения. Решаются с помощью обратной матрицы

Если  , то система имеет бесконечно много решений или несовместна (не имеет решений). В этом случае правило Крамера не поможет, нужно использовать метод Гаусса.

Ранг матрицы. Свойства ранга матрицы. Вычисление ранга матрицы с помощью элементарных преобразований.

Рангом матрицы  A называется наибольший из порядков миноров матрицы  A , отличных от нуля. Ранг нулевой матрицы считается равным нулю.

Из определения ранга матрицы получаем следующие утверждения:

Ранг матрицы определяется целым числом, заключенным между 0 и меньшим из чисел m, n.

Ранг матрицы равен нулю, если матрица нулевая.

Для квадратной матрицы n-го порядка r = п тогда и только тогда, когда матрица невырожденная.

Свойства ранга матрицы:

ранг матрицы не превосходит меньшего из ее размеров;

ранг матрицы равен нулю тогда и только тогда, когда матрица нулевая;

ранг матрицы не изменится, если из нее вычеркнуть все нулевые строки и столбцы;

ранг матрицы не изменится при ее транспонировании;

элементарные преобразования матрицы не меняют ее ранга

Элементарные преобразования:

Умножение некоторого ряда на число отличное от нуля

Прибавление к одному ряду матрицы другого, параллельному ему ряда, умноженное на произвольное число

Перестановка местами двух параллельных рядов матрицы

Теорема Кронекера-Капелли. Решение произвольных линейных систем

Теорема: Для совместности системы необходимо и достаточно, чтобы ранг основной матрицы равнялся рангу расширенной матрице этой системы

Решение произвольных систем:

Теорема 1. Если rangA=rang =n, где n – число неизвестных, то система имеет единственное решение

Теорема 2. Если rangA=rang <n, то система имеет бесчисленное множество решений

Теорема 3. Если rangA rang , то система не имеет решений

Система однородных линейных уравнений

Однородная, если свободный член в каждом уравнении равен 0

X₁=x₂=x₃=0 – является решением и называется нулевым или тривиальным

Теорема 1. Для того чтобы однородная система имела не нулевые решения необходимо и достаточно, чтобы ранг матрицы системы был меньше n rang<n (n число неизвестных)

Решение систем линейных уравнений методом последовательного исключения неизвестных (метод Гаусса)

Сущность этого метода состоит в том, что посредством последовательных исключений неизвестных, данная система превращается в ступенчатую (в частности, треугольную) систему, равносильную данной.