Процедура дискретизации аналогового сигнала.
Предположим, что для передачи информации используются любые функции, спектр, которых не превышает полосу частот W, а длительность не превосходит время T. Хотя одновременно оба эти условия нельзя выполнить, возможно, ограничить спектр полосой W и при этом иметь очень малые значения функции вне интервала T. Можно ли полностью описать функцию дискретным набором ее значений? Ответ на этот вопрос дает следующая теорема:
Теорема отсчетов. Если функция не содержит частот выше W Гц, она полностью определяется своими мгновенными значениями в моменты, отстоящие друг от друга на 1/(2W) сек.
Действительно, интуитивно ясно, что если функция не содержит частот выше W, то она не может сильно измениться за время меньшее половине периода наивысшей частоты. Функция может быть восстановлена по своим отсчетам, если применить импульс вида
Sin 2πWt
2πWt
Форма этого импульса такова, что он равен единице при t=0 и нулю при t=n/(2W), т.е. во всех остальных точках отсчета. Спектр импульса равен константе в полосе W и нулю вне этой полосы. Для восстановления функции в каждой точке отсчета надо поместить такой импульс амплитудой равной отсчету в данной точке.
Если функция ограничена интервалом времени T и отсчеты отстоят на 1/(2W), то всего в интервале T будет 2TW отсчетов. Тогда можно сказать, что любая функция, ограниченная полосой W и интервалом времени T, может быть полностью определена заданием 2TW чисел.
Отсчеты в количестве 2TW,определяющие функцию, необязательно должны браться через интервал 1/(2W). Можно показать, что достаточно знать значение функции и ее производной в точках отсчета, взятых через одну. Значение функции и двух ее производных, взятые в каждой третьей точке образуют еще одну систему параметров, полностью определяющую функцию. Иными словами, любая совокупность 2TW независимых чисел, связанных с функцией, полностью ее определяет.
При разработке аналогово-цифровых преобразователей всегда заранее известно, какой полосой ограничен спектр передаваемых сигналов, например, интонации человеческой речи вполне удовлетворительно передаются в полосе частот 400 Гц, следовательно, для преобразования в цифровую форму человеческой речи для передачи по телефонному каналу достаточно брать отсчеты с частотой 800 Гц, т.е. величина дискрета должна быть 1,25 миллисекунды.
Процедура квантования аналогового сигнала.
Проведите простой эксперимент. Включите питание магнитофона и, не нажимая на кнопку воспроизведения, поверните регулятор громкости в положение максимума, при этом в акустических колонках вы услышите шипение, потрескивание и пощелкивание. Это случайные шумы, полностью избавиться от которых не возможно.
Если сигнал имеет мощность P,
а помеха имеет мощность N,
то, сигнал, искаженный помехой, будет
иметь мощность P+N.
Тогда амплитуды сигнала, помехи и
искаженного сигнала будут соответственно
равны
,
и
.
Число хорошо различимых значений сигнала
будет
Это и есть необходимое число уровней квантования. Увеличение числа уровней квантования сверх этой величины не приведет к улучшению качества передаваемого сигнала.