Раздел 2.

1. Симметрия, операция симметрии, элемент симметрии.

Симметрия — наиболее общая закономерность, присущая строению и свойствам кристаллического вещества.

Симметричным считается такой объект, который может быть совмещен сам с собой определенными преобразованиями: поворотами или (и) отражениями. Такие преобразования называются симметрическими.

Геометрические образы (плоскости, прямые линии, точки), с помощью которых задаются или осуществляются симметрические операции, называются элементами симметрии.

2. Конгруэнтное и энантиоморфное равенство. Элементы симметрии, связывающие конгруэнтно равные и энантиоморфно равные фигуры.

Конгруэнтное равенство – равенство, при котором равные фигуры получаются путем наложения или вложения. Элементы симметрии первого рода связывают друг с другом конгруэнтно равные фигуры или их части. Назвав фигуру (или ее часть) правой по какому-нибудь признаку, следует правыми назвать все фигуры, конгруэнтно равные ей. Элементом первого рода является поворотная ось симметрии.

Энантиоморфное равенство – равенство, при котором равные фигуры получаются путем зеркального отображения. Элемент симметрии второго рода связывает друг с другом энантиоморфные (зеркально равные) фигуры (или их части). Условно назвав фигуру правой по какому-нибудь признаку, следует левыми назвать все фигуры, энантиоморфные ей. К элементам второго рода относится зеркальная плоскость симметрии и центр инверсии.

3. Элементы симметрии первого рода – поворотные оси симметрии. Их характеристики. Основной закон кристаллографии. Элементы симметрии второго рода – зеркальная плоскость, центр симметрии.

Элементы симметрии первого рода.

Поворотная ось симметрии – это прямая, при повороте вокруг которой на какой -либо угол фигура совмещается сама с собой, то есть совмещаются ее равные части, и она занимает в пространстве положение, эквивалентное исходному.

Элементарный угол поворота оси симметрии (a) – наименьший угол поворота вокруг оси, приводящий фигуру к самосовмещению. Его величина определяет порядок оси n (число самосовмещений фигуры при повороте на 360) n=360/a

Любая фигура обладающая симметрией n-ого порядка, может быть рассечена на n конгруэнтных частей бесконечным числом способов.

Основной закон симметрии кристаллов состоит в том, что в кристаллических многогранниках невозможны оси 5-ого порядка и выше 6-ого. Это было установлено эмпирически, но позже подтверждено решетчатым строением кристаллов.

Рассмотрим треугольник АА1А2. Пусть два пересекающихся в точке А узловых ряда определяются одним и тем же межузловым расстоянием, минимальным для данной пространственной решетки.( АА1=АА2=а мин=а) Следовательно А1А2 или равна а или больше а, а следовательно угол а(альфа) >=60 а от сюда следует ,что ось перпендикулярная направлению АА1 и АА2 узловой сетки не может быть больше 6-ого порядка

Любая узловая сетка пространственной решетки представляет собой параллелограмматическую сетку, а следовательно обладает осевой симметрией 2-ого порядка. Если в кристалле есть ось нечетного порядка n=2K+1, то узловая сетка такого кристалла, перпендикулярная к этой оси, будет иметь симметрию четного порядка ,как результат взаимодействия оси 2-ого порядка и нечетного порядка, параллельных друг другу

а

А1

А

Доказательство того, что нет оси больше 6-ого порядка и 5-ого порядка

a

а

А2

Следовательно, если есть ось 5-ого порядка, то при взаимодействии с параллельной осью 2-ого порядка окажется, что узловая сетка, перпендикулярная этой оси должна иметь симметрию 10-ого порядка, что противоречит выше доказанному.

Обозначения трудно нарисовать, думаю, все помнят

Элементы симметрии второго рода.

Зеркальная плоскость симметрии – плоскость, отражаясь в которой (как в двустороннем зеркале) правая фигура совмещается с левой.

В символике Браве обозначается буквой P, в международной m. Графически обозначается двойной линией.

Центр инверсии – «зеркальная точка», отражаясь от которой правая часть фигуры становится не только левой, но и является перевернутой.

Играет роль фокуса оптической линзы, а фигуры ,связанные этим элементом симметрии , относятся друг к другу как предмет и его изображение на пленке.

Расстояние от центра инверсии до двух точек похожих фигур является одинаковым. То есть правая фигура равноудалена от центра инверсии так же, как и левая.

В символике Браве и графически обозначается С. Для обозначения операции инверсия служит буква i.

4. Сложные элементы симметрии. Их взаимосвязь и реализация в кристаллическом веществе.

Сложные оси симметрии позволяют совмещать равные фигуры, путем двойной операции – поворота( операция 1 рода) и отражения (операция 2 рода).

Зеркально-поворотная ось – ось, поворот вокруг которой сопровождается отражением в перпендикулярной к оси плоскости.

Инверсионная ось – ось, поворот вокруг которой сопровождается отражением в точке (инверсией)

В общем случае каждое из совместных действий – поворот или отражение – мнимые. Последовательность операций безразлична.

Операция каждой зеркальной оси с элементарным углом поворота а может быть заменена операцией инверсионной оси с элементарным углом поворота 180-а

n(зеркальной оси)=360/a=n’(инверсионной оси)=360/(180-а)

L1(зерк)=L2(инверс)=С

L2(зерк)=L1(инверс)=Р

L3(зерк)=L6(инверс)=L3P (P перпендикулярно L3)

L6(зерк)=L3(инверс)=L3С

L4(зерк)=L4(инверс)

Симметрия любого многогранника может быть описана только осями симметрии – простыми и сложными. Однако сложные оси 1-ого и 2-ого порядка удобно заменить элементами симметрии 2-ого рода.

Записывая в виде формулы комплекс элементов симметрии, одноименные элементы симметрии (оси одинаковых порядков или плоскости симметрии) объединяются. Однако целесообразно различать эквивалентные или неэквивалентные элементы симметрии и объединять одинаковые элементы в группы.

Любое симметрическое преобразование удобно показать с помощью координат (х;у;z) точек – исходной и преобразованной части фигуры. Так поворот вокруг вертикальной оси на 180 имеет вид x y z => -x -y z