18.Функція Лапласа та її властивості.

Таблица значений функции Лапласа

при разных значениях t; F(–t) = –F(t) (функция нормального распределения).

Функция Лапласа обладает следующими свойствами:

1) Ф(0) = 0;

2) Ф(-х) = - Ф(х);

3) Ф(¥) = 1.

            Функцию Лапласа также называют функцией ошибок и обозначают erf x.

19.Формула Пуассона,умови її використання.

 Если вероятность   наступления события   в каждом испытании постоянна и мала, а число независимых испытаний  достаточно велико, то вероятность наступления события   ровно   раз приближенно равна

.

20.Означення випадкової величини, дискретної та неперервної випадкової величини.

Випадковою називається величина, яка може набувати різних числових значень. Строгіше означення випадкової величини пов’язане з поняттям простору елементарних подій. Нехай задано простір елементарних подій .

Однозначна числова функція яку задано на просторі елементарних подій, називається випадковою величиною. Якщо простір  дискретний, то випадкова величина дискретна. Неперервному простору елементарних подій відповідає неперервна випадкова величина.

21.Закон розподілу випадкової величини.

закон дискретной випадкової величини Х задано таблицею:

Х=хі	х1	х2	х3	...	хк
Р(Х=хі)=рі	р1	р2	р3	..	рк

Тоді закон розподілу випадкової величини У=(х) матиме такий вигляд:

У=(хі)	(х1)	(х2)	(х3)	...................	(хк)
Р(У=(хі)=рі	р1	р2	р3	....................	рк

Де кожне можливе значення У дістають,виконуючи ті операції,які вказані в невипадковій функції,умовно позначеній .

Числові властивості:

1.Математичне сподівання

2.Дисперсія

3.Середнє квадратичне відхилення

22.Інтегральна функція розподілу випадкової величини: означення.Властивості.

Якщо X - випадкова величина, то функція F (x) - інтегральна функція розподілу ймовірностей, або просто функція розподілу (іноді застосовують термін кумулятивна функція розподілу) випадкової величини визначає ймовірність P того, що випадкова величина приймає значення, менше x, тобто

F (x) = P (X <x)

Функція розподілу містить всю інформацію про випадковій величині, тому вивчення випадкової величини полягає в дослідженні її функції розподілу.

Функція розподілу повністю характеризує випадкову величину і є однією з форм закону розподілу.

З визначення випливає, що функція розподілу будь-якої випадкової величини має такі властивості:

Властивості F (x):

1. Інтегральна функція розподілу приймає значення від 0 до 1.

2. F (x) - неубивающей функція, тобто F (x2) F (x1), якщо x2> x1.

3. Імовірність того, що випадкова величини X прийме значення, укладену в інтервалі (а, b) дорівнює приросту інтегральної функції розподілу на цьому інтервалі:

4. Якщо всі значення випадкової величини належать деякому проміжку від a до b, то:

F (x) = 0, якщо x a,

F (x) = 1, якщо x b

23.Диференціальна функція розподілу(щільність розподілу) випадкої величини : означення.Властивості.

Нехай   - неперервна і диференційована функція розподілу випадкової величини Х. Підрахуємо ймовірність попадання значень на інтервал  , а саме:

.

Поділимо цю рівність на   і перейдемо до границі при умові  :

      (3)

Отримана похідна   називається густиною (щільністю) розподілу випадкової величини Х, або диференціальною функцією розподілу. В літературі часто її позначають  . Зміст густини розподілу полягає в тому, що вона вказує, як часто появляється випадкова величина Х в деякому околі точки х при повторенні випробувань.

Властивості густини розподілу:

Властивість 1.  Густина розподілу невід’ємна, тобто  .

Дійсно, бо  , а   - неспадна функція.

Властивість 2.  Функція розподілу випадкової величини рівна

,           

Дійсно,  ,  тобто  .

Властивість 3.  Ймовірність попадання неперервної випадкової величини на інтервал   рівна

.

Властивість 4.   .

24.Математичне сподівання випадкової величини : означення,властивості. , або середнім значенням, МХ випадкової величини, називається ряд (для дискретних випадкових величин) і інтеграл (для неперервних випадкових величин), якщо вони абсолютно збіжні. Математичне сподівання має такі властивості:

1. (С — стала);

2. ;

3. 

4. якщо Х і Y — незалежні випадкові величини.

25.Дисперсія та середньоквадратичне відхилення випадкової величини: означення,властивості.

Дисперсія (позначається через ) випадкової величини Х визначається за формулою:

Основні властивості дисперсії:

1. 

2. 

3. якщо випадкові величини незалежні.

Середнє квадратичне відхилення (позначається літерою ) є квадратним коренем із дисперсії.

Якщо від випадкової величини віднімемо її математичне сподівання, то дістанемо центровану випадкову величину, математичне сподівання якої дорівнює нулю. Ділення випадкової величини на її середнє квадратичне відхилення називається норму­ванням цієї випадкової величини.

Випадкова величина має нульове математичне сподівання й одиничну дисперсію.

26. Мода, медіана випадкової величини.

Медіаною випадкової величини є Х будь-який корінь рівняння

Мода дискретної величини — це таке її значення, імовірність якого найбільша.

Модою неперервного розподілу є значення випадкової величини, за якого щільність розподілу має максимум.

27.Початкові та центральні моменти.

Початковий, центральний і абсолютний початковий моменти порядку k величини Х визначають відповідно за такими формулами:

Якщо існує початковий абсолютний момент порядку k, то існують усі моменти нижчих порядків.

28.Асиметрія, ексцес.

Асиметрія випадкової величини визначається за формулою:

Ексцес випадкової величини обчислюють за формулою:

29.Означення багатовимірної випадкової величини.

Багатовимірної випадковою величиною називається величина, яка при проведенні досвіду приймає в якості свого значення не кількість, а цілий набір чисел, заздалегідь не відомо яких. Ці набори, які випадкова величина може прийняти, утворюють безліч її можливих значень. Таким чином, хоча конкретний набір не вгадаєш, він буде з безлічі можливих наборів

Багатовимірна випадкова величина - впорядкований набір (вектор)   фіксованого числа   одномірнихвипадкових величин. Багатовимірне спостереження   - реалізація м.с.в. Як правило  Багатовимірна вибірка   - невпорядкований набір фіксованого числа   багатовимірних спостережень. Основними числовими характеристиками м.с.в. є вектор середніх і коваріаційного матриця.