5.Дати означення відносної частоти появи події.

Відносної частотою події А називається відношення числа дослідів, у результаті яких сталася подія А до загального числа дослідів W(A)=m/n 

де m – число появ події, А n – загальна кількість випробувань.

6. Дати геометричне та статистичне означення ймовірностей.

 Геометричне   означення  ймовірності. Якщо простір елементарних подій ( можна подати у вигляді деякого геометричного  предмета, а множину елементарних подій для подій А – як частину цього  геометричного  образу, то ймовірність події А визначається як відношення мір цих множин P(A)=((A)/((().При цьому вважається, що попадання в деяку частину  геометричного  образу пропорційна до міри цієї його частини.   Статистичною  ймовірністю події А називається відношення кількості m випробувань, в яких подія А відбулась, до загальної кількості виконаних випробувань n: W(A)= m /n. Знаходження  статистичної  ймовірності пов’язане з проведенням n випробувань,  тому  вона називається ще частістю, або відносною частотою, події. 

7.Дати визначення умовної ймовірності.

Умовна ймовірність та її властивості.

Імовірність події A, визначена за умови, що подія В відбулася, називається умовною і позначається P(A/B). P(A/B)= P(AB) / P(B), P(B) 0. Властивості :

• 

• Якщо  , то умовна ймовірність, строго кажучи, не визначена. Проте іноді умовляються вважати її в цьому випадку рівною нулю .

• Умовна ймовірність є ймовірністю, тобто функція  , задана формулою

задовольняє всім аксіомам імовірнісної міри.

8.Формула множення ймовірностей для залежних та незалежних подій.

Якщо випадкові  події  А та В сумісні, то імовірність їх об’єднання дорівнює сумі їх імовірностей без імовірності їх сумісної появи .

Р(А U В) = Р(А) + Р(В) – Р(А·В)

Якщо  події  А та В незалежні

Р(А U В) = Р(А) + Р(В) – Р(А) · Р(В)

Якщо  події  А та В залежні

Р(А U В) = Р(А) + Р(В) – Р(А) · Р_А(В)

9.Формула для обчислення появи хоча б однієї події.

Якщо випадкові  події  А₁, А₂,…,А_nпопарно несумісні, то імовірність появи хоча  б   однієї   з   цих подій дорівнює  сумі  їх імовірностей.

) = Р(А₁) + Р(А₂)+ … +Р(А_n).

10. Формула повної ймовірності

Якщо випадково  подія  А може настати лише сумісно з  однією  із несумісних між собою  подій  В₁, В₂, …, В_n, що утворюють повну групу, тоді імовірність події а обчислюється за формулою: Р(А)=

11.Формула Баєса.

Вона використовується, коли  подія  F, яка може настати тільки з  однією  із гіпотез А₁, А₂, … , А_n, що утворюють повну групу подій, відбулась і необхідно зробити кількісну переоцінку апріорних імовірностей цих гіпотез Р(А₁), Р(А₂), … , Р(А_n), відомих до випробування, тобтопотрібно знайти апостеріорні (після досліду) умовні імовірності гіпотез Р_F(А₁), Р_F(А₂), … , Р_F(А_n)

P_f (A_i) = 

12.Означення експерименту за схемою Бернуллі

Проводяться n дослідів, у кожному з яких може настати певна подія («успіх») з ймовірністю p (або не настати — «неуспіх» — q = 1 — p). Задача — знайти ймовірність отримати k успіхів у досліді.

Розв'язок:

Кількість успіхів — випадкова величина, що має розподіл Бернуллі.

Отже, поставивши у відповідність кожній події   числове значення   (3), ми задаємо ймовірність  . Побудований простір  , де Ω — прочтір елементарних подій, визначений рівністю (1),  — σ-алгебра, визначена рівністю (2), P — ймовірність, визначена рівністю (3), називається схемою Бернуллі для n випробувань.

Набір чисел   називається біноміальним розподілом.

Властивості.

Нехай p — ймовірність успіху в схемі Бернуллі, q=1-p.Тоді найімовірнішою серед подій   є подія  , де   можна знайти з нерівності  .