52.Числові характеристики : вибіркова середня, дисперсія вибірки, середньоквадратичне відхилення.

Вибірковим середнім   в називається середнє арифметичне всіх значень вибірки:   в =

Вибіркове середнє можна записати так і   в =

Вибіркової дисперсією Dв називається середнє арифметичне квадратів відхилень значень вибірки від вибіркової середньої   в, тобто.                                       * Або те ж саме   *

Можна показати, що дисперсія може бути обчислена за формулою:    - ( )  Вибіркове середнє квадратичне відхилення вибірки визначається формулою                         =

53.Мода й медіана,емпіричні початкові та центральні моменти, асиметрія та ексцес.

Медіаною випадкової величини є Х будь-який корінь рівняння

Мода дискретної величини — це таке її значення, імовірність якого найбільша.

Модою неперервного розподілу є значення випадкової величини, за якого щільність розподілу має максимум.

Асиметрія випадкової величини визначається за формулою:

Ексцес випадкової величини обчислюють за формулою:

Початковий, центральний і абсолютний початковий моменти порядку k величини Х визначають відповідно за такими формулами:

Якщо існує початковий абсолютний момент порядку k, то існують усі моменти нижчих порядків.

54.Дати визначення статистичної оцінки.

Статистичні оцінки — це статистики, що використовуються для оцінювання невідомих параметрів розподілів випадкової величини.

Наприклад, якщо   — це незалежні випадкові величини, з заданим нормальним розподілом  N( , то   буде середнім арифметичним результатів спостережень.

Задача статистичної оцінки формулюється так:

Нехай   - вибірка з генеральної сукупності з розподілом  (x, )Розподіл   має відому функціональну форму, але залежить від невідомого параметра  . Цей параметр може бути будь-якою точкою заданої параметричної множини  . Використовуючи статистичну інформацію що міститься у вибірці   зробити висновки про справжнє значення параметра  .

55.Точкові та інтервальні статистичні оцінки.

Точковою називається оцінка, яка визначається одним числом.При вибірці малого обсягу точкові оцінки можуть значно відхилятись від параметру, тобто приводять до грубих похибок. Тому більш точними є інтервальні оцінки.

Інтервальною називають оцінку, яка визначається двома числами – кінцями інтервалу. Інтервальні оцінки дозволяють встановити точність і надійність оцінок.

Нехай знайдена по даних вибірки статистична характеристика а^* служить оцінкою невідомого параметру а. Будемо вважати а постійною величиною (може бути і випадковою). Зрозуміло, що а^* тим точніше визначає параметр а, чим менша абсолютна величина різниці  . Іншими словами, якщо   і   , то чим менше  , тим точніша оцінка. Таким чином, додатне число   характеризує точність оцінки.

В зв’язку з тим, що вибіркові параметри (середні, дисперсія і т.д.) є випадковими величинами, то і їх відхилення від генеральних параметрів (похибки) також будуть випадковими величинами. Таким чином, задачу про оцінку цих відхилень носить ймовірнісний характер і полягає в оцінці ймовірності  Р(   )