21 Билет

Доказательство

Рассмотрим односторонние пределы и и докажем, что они равны 1. Пусть . Отложим этот угол на единичной окружности ( ).

Точка K — точка пересечения луча с окружностью, а точка L — с касательной к единичной окружности в точке . Точка H — проекция точки K на ось OX.

Очевидно, что:

(1)

(где — площадь сектора )

(из : )

ТАК КАК

Умножаем на :

Перейдём к пределу:

Найдём левый односторонний предел:

Правый и левый односторонний пределы существуют и равны 1, а значит и сам предел равен 1.

Следствия

• 

• 

• 

• 

22 билет Второй замечательный предел

или

   Зная, что второй замечательный предел верен для натуральных значений x, докажем второй замечательный предел для вещественных x, то есть докажем, что . Рассмотрим два случая:

1. Пусть . Каждое значение x заключено между двумя положительными целыми числами: , где  — это целая часть x.

Отсюда следует: , поэтому

.

Если , то . Поэтому, согласно пределу , имеем:

.

По признаку (о пределе промежуточной функции) существования пределов .

2. Пусть . Сделаем подстановку , тогда

.

Из двух этих случаев вытекает, что для вещественного x.   

Следствия

1. 

2. 

3. 

4. 

5. для ,

6. 

24 билет Сравнение бесконечно малых функций

  Пусть α(x) и β(x) две бесконечно малые функции при x → x₀ и β(x) отлична от нуля в некоторой окрестности точки х₀ (за исключением, быть может, самой точки х₀). Если

= 0,

то α(x) называется бесконечно малой более высокого порядка, чем β(x) . В этом случае пишут α(x) = (β(x)) и говорят α(x) есть о − малое от β(x).   Если

= А ≠ 0 ( A - число),

то бесконечно малые α(x) и β(x) имеют одинаковый поряок малости. В этом случае пишут α(x) = (β(x)), (α(x) есть O - большое от β(x).    Если

= ∞,

то α(x) называется бесконечно малой более низкого порядка, чем β(x).    Если

= 1,

то α(x) и β(x) называется эквивалентными бесконечно малыми, α(x) ~ β(x).   В некоторых случаях недостаточно знать, что одна из двух бесконечно малых является бесконечно малой более высокого порядка, чем другая. Нужно еще оценить, как высок этот порядок. Поэтому вводится следующее правило: если

,

то α(x) является бесконечно малой n -го порядка относительно β(x).   Теорема. Для того, чтобы две функции f = f (x) и g = g (x), f (x) ≠ 0, g (x) ≠ 0, были эквивалентными при х → х₀, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось хотя бы одно из условий

f - g = (f ) или f - g = (g).

  Доказательство необходимости. Пусть

,

тогда

,

откуда

,

то есть g − f = (g). Аналогично из условия

доказывается g − f = (f )    Шкала бесконечно малых. Иной раз встречается надобность в более точной сравнительной характеристике поведения бесконечно малых, в выражении порядков их числами. В этом случае, прежде всего, в качестве своего рода «эталона» выбирают одну из фигурирующих в данном исследовании бесконечно малых (скажем ); ее называют основной. Конечно, выбор основной бесконечно малой в известной мере произволен, но обычно берут простейшую из всех. Если рассматриваемые величины, как мы предположили, являются функциями от и становятся бесконечно малыми при стремлении к то в зависимости от того, будет ли нулем, конечным и отлич­ным от нуля числом или бесконечностью, естественно за основную бесконечно малую взять соответственно

Далее, из степеней основной бесконечно малой (мы будем счи­тать ) с различными положительными показателями, соста­вляют как бы шкалу для оценки бесконечно малых более сложной природы.

III. Уславливаются считать бесконечно малую величиной k-го порядка (относительно основной бесконечно малой ), если и будут величинами одного порядка, т. е. если отношение имеет конечный и отличный от нуля предел.

Теперь, например, можно, не довольствуясь утверждением, что бесконечно малые (1) будут величинами высшего порядка, чем сказать точно, что одна из них есть бесконечно малая второго порядка, а другая — третьего порядка относительно

25 билет Функции и называют бесконечно малыми при , если и

Функции и называют эквивалентными бесконечно малыми при , если

27 билет. Теорема Больцано-Коши об обращении функции в нуль. Пусть функция  определена и непрерывна на отрезке  и на концах этого отрезка принимает значения различных знаков, т.е. . Тогда существует точка такая, что =0.

Проиллюстрируем теорему геометрически.

Вторая теорема Больцано-Коши о промежуточном значении функции. Пусть функция определена и непрерывна на отрезке и на концах этого отрезка принимает неравные значения . Тогда, каково бы ни было  между числами и , найдется точка с в интервале  такая, что .

 

 

 

28 билет Функция называется  ограниченной, если существует такое положительное число M, что |  f ( x ) |  M  для всех значений  x . Если такого числа не существует, то функция - неограниченная.

Функция, является ограниченной, но не монотонной. Функция 2 - как раз наоборот, монотонная, но неограниченная.

Теорема:

  Если функция f (x) определена и непрерывна в замкнутом промежутке [a, b], то она на этом промежутке ограничена.   Доказательство. Функция f (х) ограничена на промежутке [а, b], если существуют такие конечные числа m и M, что m ≤ f (х) ≤ М при a ≤ x ≤ b. Допустим, что функция f (х) при изменении х в промежутке [а, b] оказывается неограниченной. В таком случае для каждого натурального числа n найдётся в промежутке [а, b] такое значение х = х_n, что f ( x_n) ≥ n. Однако по лемме Больцано – Вейерштрасса из этой ограниченной последовательности {x_n} можно выделить сходящуюся частичную подпоследовательность:

Причем, очевидно, х₀ [a, b]. Вследствие непрерывности функции в точке х₀ должно быть выполнено

Однако, в силу f (x_n) ≥ n имеем

Полученное противоречие и доказывает теорему.

31 билет В теории множеств теорема Кантора гласит, что Любое множество менее мощно, чем множество всех его подмножеств. Доказательство Предположим, что существует множество , равномощное множеству всех своих подмножеств , то есть, что существует такая биекция , ставящая в соответствие каждому элементу множества некоторое подмножество множества . Рассмотрим множество , состоящее из всех элементов , не принадлежащих своим образам при отображении (оно существует по аксиоме выделения):

биективно, а , поэтому существует такой, что .

Теперь посмотрим, может ли принадлежать . Если , то , а тогда, по определению , . И наоборот, если , то , а следовательно, . В любом случае, получаем противоречие.

Следовательно, исходное предположение ложно и не равномощно . Заметим, что содержит подмножество, равномощное (например, множество всех одноэлементных подмножеств ), а тогда из только что доказанного следует .