7 Билет:

Теорема об арифметических операциях с пределами: пусть сходящиеся последовательности: тогда

тоже сходится, причем

Доказательство: пусть тогда в силу теореме об общем виде сходящихся последовательностей

Тогда

Итак представили в виде суммы числа и БМП значит сходящаяся и

2) тоже сходящиеся, причем

Доказательсто: по теореме о БМП

БМП как произведение огр. Последовательности на БМП ( по теореме о БМП) )- БМП ( по теореме о БМП)

- БМП ( по теореме о БМП). По теореме об общем виде сходящихся послед. Поскольку представили в виде суммы числа и БМП, то она сходится, а это число является ее пределом, т.е.

3) если , то последов. тоже содится и

Доказательство: пусть . Докажем сначала что ограничена

Рассмотрим тогда ; если если если

В случае – огр.

Т.к. сходится то ее можно представить в виде

Анологично где

Осталось доказать, что

Т.к. – БМП и - БМП, то и тоже БМП.

Ранее дрказали. Что ограничена, значит - БМП, как произведение бмп на огр.послед.

Итак где - БМП, значит сходится и

8 Билет

Теорема о предельном переходе в неравенствах:

Если соотв.

Доказательство(от противного):пусть возьмем – противоречия.

Следствие1: если

Следствие2: если сходится, то

Доказательство: расмотр.

сходится как разность сход.послед и

В силу теор.о предельном переходе

Теорема о стабилизации знака в неравенстве:

Пусть

Доказательство: расм.

Следствие: если

Доказательство: расм. . Тогда в силу теор.о стабилизации знака

9 Билет:

Теорема о сжимающихся последовательностях или о двух милиционерах: пусть

Доказательство: расм.

Т.к.

Возьмем

Итак . Следовательно

10 Билет:

Опр1: послед. наз-ся:

1. Возраст. если

2. Убыв. Если

3. Монотонной, если послед. явл-ся возр. или убывающей

4. Строго возр.если

5. Строго убыв.если

6. Строго монотонной, если послед.явл-ся.строго возр.или строго убыв.

Опр2: послед.наз-ся:

1. Огр.сверху если

2. Огр.снизу если

3. Послед.наз-ся огран.если она ограничена и сверху и снизу

Опр3: число М наз-ся наименьшей верхней гранью или супремумом послед. Если М явл-ся н.в.гр. множества значений послед.

Число m наз-ся наиб.нижн.гр. или инфинимумом послед. если m явл-ся н.н.гр. множества значений пос-ти.

Критерий:

M=inf

Теорема о признаке сходимости монотонной послед-ти:

1. Возр.огран.сверху послед.сходится

2. Убывающая огр.снизу послед.сходится

3. Монотонная огр.послед.сход-ся

Доказательство: докажем что 1) и 2) док.одинаково, в 3) следует из 1 и2.

Т.к. посед.огр.сверху, то она имеет конечный sup .

a= ; расм. . В силу 1) и 2) . В силу монотонности : . Итак