3 Билет:
Теорема о единственности предела:
сходящаяся
последовательность имеет только один
предел, т.е. если
и
то
а=b
Док-во: (от противного) пусть а ≠b значит либо b>a, либо a>b
Пусть для определенности b>a
Рассмотрим
т.к.
а + ɛ <b
- ɛ, то
т.к.
то
для этого
т.к.
то
для этого
Возьмем
.
Тогда
Получаем противоречие значит а=b
4 Билет:
Теорема об ограниченности сходящейся последовательности:
сходящаяся
последовательность ограничена, т.е.
если
Доказательство:
Выберем
Тогда для этого
Рассмотрим
множество
.
В
конечном множестве действ. Чисел
максимальное и
минимальное число т.е.
Возьмем
Тогда
,
т.е.
ограничена.
Замечание:Условие ограниченность является таким образом необходимым условием сходимости последовательности. Однако это условие не явл. Достаточным условием сходимости послед.
Билет 5:
Опр1. Последовательность {xn} называется БМП,
Такая
что
Опр2. Последовательность {xn} называется ББП, если для любого положительного числа А существует номер N такой, что при n>N выполняется неравенство [xn]>A.
Примеры:
1)докажем,
что последовательность {
}-БМП
возьмем
£>0, из неравенства [αn]=[
]<£
получаем n>
.
Если взять N=[
],
то для всех n>N
будет выполнятся неравенство
n≥[
]+1>
,откуда
=[αn]<£.
Таким образом, согласно Опр1.
последовательность {
}-БМП.
2)докажем, что последовательность {n}-ББП.
возьмем А>0,из неравенства [xn]=[n]>A, получаем n>A. Если взять N≥A, то для n>N,будет выполнятся неравенство [xn]>A, т.е. согласно Опр2. последовательность {n}-ББП.
Теоремы об арифметических операциях.
Теорема1. Сумма и разность двух БМП есть БМП.
Доказательство:
Пусть {αn}
и {βn}-БМП.
Докажем что {αn±
βn}-БМП.
Выберем
и возьмем
Т.к.
(
БМП,
то для этого
Выберем
.
Тогда
Следствие1. Алгебраическая сумма любого конечного числа БМП есть БМП.
Теорема2. Произведение двух БМП есть БМП.
Доказательство:
Пусть
– БМП →
огр.
По теореме об ограниченности
сходимостипоследоват. В силу теореме
о произв. БМП на огр. послед.
БМП.
Следствие2: Произведение любого конечного числа БМП есть БМП.
Теорема3: Произведение ограниченной последовательности на БМП, есть БМП.
Доказательство:
– БМП.
–
огр.послед.↔
Т.К.
Тогда
Итак
Следствие3: Произведение БМП на число есть БМП.ательность нство хлюбого положительного числа Асуществует номер
Теорема о связи между БМП и ББП.
Теорема1.
Если {xn}-ББП
и все её члены отличны от нуля, то
{
}-БМП,
и, обратно, если {xn}-БМП,
то {
}-ББП.
Доказательство:
Пусть {xn}-ББП.
Возьмем любое £>0 и положим А=
.
Согласно Опр2.
для А существует номер N
такой, что при n>N
[xn]>A
=> [
]=
<
=£
для всех n>N,
а это значит, что последовательность
{
}-БМП.
Доказательство второй части теоремы проводится аналогично.
6 Билет:
Теорема об общем виде сходящейся последовательности:
Последовательность
сходится
тогда и только тогда когда она представлена
в следующем виде:
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО:
Пусть
(
сходящаяся,
т.е.
Выберем
в качестве
Имеем
Таким
образом
Пусть
представлена
в виде (1) т.е.
но в силу равенства (1)
итак
