19(1-III). Общие понятия и определения.

Системы дифференциальных уравнений.

В этой статье мы разберем решение простейших систем дифференциальных уравнений вида  , где a₁, b₁, c₁, a₂, b₂, c₂ - некоторые действительные числа. Сначала покажем метод интегрирования системы уравнений, далее подробно опишем решение примера.

Решением такой системы является пара функций x(t) и y(t), обращающая в тождества оба уравнения системы.

Опишем метод интегрирования систем дифференциальных уравнений  .

Исключим неизвестную функцию x(t) из первого уравнения системы. Для этого выразим x из второго уравнения системы  , продифференцируем по t второе уравнение системы и разрешим его относительно  :  .

Подставляем полученные результаты в первое уравнение системы, тем самым неизвестная функция x(t) будет исключена:

Так мы пришли к линейному неоднородному дифференциальному уравнению второго порядка с постоянными коэффициентами. Находим его решение y(t). Подставив это решение во второе уравнение системы, находим x(t). На этом решение системы дифференциальных уравнений закончено.

.

20(2-III). Методы интегрирования систем дифференциальных уравнений («метод исключения» переменных, метод «интегрируемых комбинаций»).

Метод исключения. Система дифференциальных уравнений вида

где  , - известные функции (правая часть системы), называется нормальной системой дифференциальных уравнений.

Существует два основных метода интегрирования системы (1). Первый метод, который называется методом исключения, состоит в сведении системы (1) к одному уравнению n-го порядка или к одному уравнению m-го (m < n) порядка и к системе m независимых уравнений. Такое сведение достигается путем дифференцирования одного из равенств системы (1) и последующего использования всех уравнений этой же системы. Обычно приходится дифференцировать n - 1 раз, но бывают случаи, когда достаточно продифференцировать m (m < n - 1) раз. В результате получаем некоторое число k тождеств, из которых, исключая k - 1 переменную, получаем одно дифференциальное уравнение относительно одной неизвестной функции. Если это последнее уравнение удается проинтегрировать, то другие неизвестные функции можно найти путем дифференцирования и простейших алгебраических операций.

Метод подбора интегрируемых комбинаций. Система дифференциальных уравнений вида

где   - известные функции (правая часть системы), называется нормальной системой дифференциальных уравнений.

Существует два основных метода интегрирования системы (1). Первый метод, который называется методом исключения, состоит в сведении системы (1) к одному уравнению n-го порядка или к одному уравнению m-го (m < n) порядка и к системе m независимых уравнений. Такое сведение достигается путём дифференцирования одного из равенств системы (1) и последующего использования всех уравнений этой же системы. Обычно приходится дифференцировать n - 1 раз, но бывают случаи, когда достаточно продифференцировать m ( m < n - 1) раз. В результате получаем некоторое число к тождеств, из которых, исключая к - 1 переменную, получаем одно дифференциальное уравнение относительно одной неизвестной функции. Если это последнее уравнение удается проинтегрировать, то другие неизвестные функции можно найти путём дифференцирования и простейших алгебраических операций.

Второй метод заключается в подборе так называемых интегрируемых комбинаций. Интегрируемой комбинацией называется дифференциальное уравнение, которое является следствием системы уравнений (1) и интегрируется в квадратурах; например, имеет вид:

где   суть решения системы (1). Функция   которая тождественно равна постоянной при подстановке в нее решений   системы (1), называется первым интегралом системы (1). Если имеется k первых независимых интегралов

(интегралы называются независимыми, если между функциями  не существует связи вида  , то из системы (3) можно выразить k неизвестных функций через остальные. Подставим их в систему (1), придем к задаче об интегрировании системы уравнений с меньшим числом неизвестных. В частности, если k = n, то все неизвестные функции определяются из системы интегралов (3). Аналитическая форма проверки независимости интегралов имеет вид

где   – какие-нибудь k функций из числа неизвестных.