17(5-II) Линейные неоднородные дифференциальные уравнения (структура общего решения).

14.5.9. Теорема о структуре общего решения линейного неоднородного дифференциального уравнения. Теорема о наложении решений. Мы установили, что для того, чтобы решить линейное однородное уравнение, необходимо найти его фундаментальную систему решений. В этом разделе покажем, что решение неоднородного уравнения сводится к решению однородного, если удаётся найти частное решение этого неоднородного уравнения. Справедлива  Терема 14.5.9.1 о структуре общего решения линейного неоднородного дифференциального уравнения. Общее решение линейного неоднородного дифференциального уравнения с непрерывными на интервале (a, b) коэффициентами и правой частью

Ln(y) =  ;

(20)

равно сумме общего решения соответствующего однородного уравнения

Ln(y) =  ;

(21)

и частного решения неоднородного уравнения (20): y_он(x) = y_оо(x) + y_чн(x) = (C₁ y₁(x) + C₂ y₂(x) + …+ C_n y_n(x)) + y_чн(x).  Док-во. Мы должны доказать, что если известно частное решение y_чн(x) неоднородного уравнения (20), то любое его другое частное решение   может быть получено по формуле   при некотором наборе постоянных C₁, C₂, …, C_n. Так как и y_чн(x), и   - решения неоднородного уравнения (20), тоL_n(y_чн(x)) = f(x) и  , следовательно, по линейности оператора L_n(y),  . Функция   удовлетворяет однородному уравнению, поэтому содержится в формуле C₁ y₁(x) + C₂ y₂(x) + …+ C_n y_n(x) при некотором наборе постоянных C₁, C₂, …, C_n:  . Таким образом,  , что и требовалось доказать.  Из предыдущей теоремы следует, что для нахождения общего решения линейного неоднородного дифференциального уравнения необходимо знать его частное решение. Здесь мы сформулируем и докажем теорему, которая позволяет свести нахождение частного решения неоднородного уравнения с правой частью вида   (  - постоянные) к, возможно, более простой задаче нахождению частных решений этого уравнения с правыми частями вида f(x) = f₁(x), f(x)=f₂(x):  Теорема 14.5.9.2 о наложении решений. Если y_1,чн(x) - частное решение неоднородного уравнения L_n(y) = f₁(x), y_2,чн(x) - частное решение неоднородного уравнения L_n(y) = f₂(x), то функция   является частным решением неоднородного уравнения  .  Док-во основано на линейности оператора L_n(y):  , что и требовалось доказать.

18(6-II). Линейные неоднородные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами.

14.5.11.2. Линейные неоднородные уравнения с постоянными коэффициентами.  14.5.11.2.1. Метод вариации произвольных постоянных. Если коэффициенты уравнения постоянны, то, как следует из результатов предыдущего раздела, можно найти фундаментальную систему решений однородного уравнения, и, следовательно, применить метод вариации произвольных постоянных для решения неоднородного уравнения. Пример: найти общее решение уравнения  . По теореме 14.5.9. о структуре общего решения неоднородного уравнения общее решение этого уравнения равно сумме общего решения соответствующего однородного уравнения и частного решения. Характеристическое уравнение соответствующего однородного уравнения: k² + 4 k - 5 = 0. Его корни    . Фундаментальная система решений y₁(x) = e ^-5x, y₂(x) = e ^x, y_оо(x) = C₁ e ^-5x + C₂ e^x. Ищем решение исходного уравнения в виде y(x) = C₁(x) e ^-5x + C₂(x)e^x. В соответствии с методом вариации система для нахождения     будет   Решаем эту систему:      Общее решение:  (константы в окончательном ответе переобозначены).

14.5.11.2.2. Метод подбора частного решения неоднородного уравнения с правой частью специального вида. Методом Лагранжа может быть решено любое неоднородное уравнение с постоянными коэффициентами. Однако если свободный член в уравнении (20) имеет вид

.

(37)

где P_m1(x) и Q_m2(x) - многочлены степеней, соответственно, m₁ и m₂, можно сразу указать вид частного решения в форме с неопределёнными коэффициентами. Общее правило таково: составим из коэффициентов при x в экспоненте и тригонометрических функциях число   и пусть r - кратность числа s₀ как корня характеристического уравнения, m = max(m₁, m₂). Тогда частное решение надо искать в виде  , где R_m(x) и S_m(x) - многочлены степени m с неопределёнными коэффициентами. Дифференцируя функцию y_чн n раз, подставив эти производные в уравнение и приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях x и одинаковых тригонометрических функциях (sin x или cos x), получим систему из 2(m + 1) уравнений относительно 2(m + 1) неопределённых коэффициентов многочленов R_m(x) и S_m(x). Решив эту систему, определим коэффициенты функции y_чн(x).