16(4-II). Линейные однородные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами

14.5.11. Линейные уравнения с постоянными коэффициентами. Выше неоднократно отмечалось, что в случае, когда коэффициенты линейного уравнения постоянны (p_i(x) = a_i = const,i = 1, 2, …, n), удаётся найти фундаментальную систему решений однородного уравнения. Рассмотрим этот случай. 14.5.11.1. Линейные однородные уравнения с постоянными коэффициентами. Пусть коэффициенты уравнения

;

(34)

постоянны на рассматриваемом интервале (a, b) (a_i = const при i = 1, 2, …, n). Для нахождения фундаментальной системы решений (ФСР) уравнения (34) предположим, что решения этого уравнения имеют вид y = e^kx. Тогда . Подставляя эти выражения для производных в (34) и сокращая его на e^kx, получим алгебраическое уравнение n-ой степени

kⁿ + a₁kⁿ -1 + a₂kⁿ -2 + ... + a_n -1 k + a_n = 0.

(35)

Уравнение (35) называется характеристическим уравнением уравнения (34). Это уравнение имеет n (возможно, комплексных корней) k₁, k₂, …, k_n, некоторые из которых могут быть равны друг другу. Каждому из этих корней соответствует функция из ФСР. Правило, по которому формируется ФСР, заключается в следующем: Если k_j - простой действительный корень характеристического уравнения (т.е. корень кратности r = 1), то ему соответствует функция в ФСР; если k_j - действительный корень характеристического уравнения кратности r > 1 (т.е. k_j = k_j +1 = k_j +2 = …= k_j + r - 1 ), то этому множеству корней соответствует набор функций в ФСР; если - простой комплексный корень характеристического уравнения (здесь - мнимая единица), то корнем характеристического уравнения будет и сопряженное с k_jчисло . Паре корней k_j, k_j+1 соответствуют функции , в ФСР; если - комплексный корень характеристического уравнения кратности r > 1, то корнем характеристического уравнения той же кратности будет и число . Паре корней k_j, k_j+1, каждый из которых имеет кратность r > 1, соответствуют набор функций , , , , , , …., , в ФСР. Обоснование этого правила дадим для случая n = 2. Рассмотрим уравнение второго порядка

(36)

Его характеристическое уравнение k² + a₁k + a₂ = 0, в зависимости от значения дискриминанта D = a₁² - 4a₂, может иметь 1. действительные неравные корни k₁, k₂ (D > 0). Функции , по самому способу их нахождения, являются решениями уравнения (36). Вронскиан этой системы функций , следовательно - это фундаментальная система решений. Общее решение уравнения (36) в этом случае - . 2. действительные равные корни . Функция , как и в предыдущем случае, решение уравнения (36). Докажем, что функция тоже удовлетворяет уравнению: , так как k₁ - корень характеристического уравнения: . Функции - фундаментальная система решений, так как . Общее решение уравнения (36) в этом случае - . 3. комплексные корни. В этом случае , где . Мы должны доказать, что функции удовлетворяют уравнению. Находим: , подставляем в уравнение: Рассмотрим по отдельности коэффициенты при и при : , . Итак, , т.е. функция - действительно решение уравнения. Аналогично доказывается, что и функция - решение уравнения. Якобиан этой системы функций: , т.е. это - фундаментальная система решений. Общее решение уравнения (36) в этом случае - .