1. Общие сведения о дифференциальных уравнениях. Основные понятия и определения. Задачи, приводящие к дифференциальным уравнениям.

Дифференциальные уравнения первого порядка.

Простейшие дифференциальные уравнения первого порядка вида  .

Запишем несколько примеров таких ДУ  .

Дифференциальные уравнения   можно разрешить относительно производной, произведя деление обеих частей равенства на f(x). В этом случае приходим к уравнению  , которое будет эквивалентно исходному приf(x) ≠ 0. Примерами таких ОДУ являются  .

Если существуют значения аргумента x, при которых функции f(x) и g(x)одновременно обращаются в ноль, то появляются дополнительные решения. Дополнительными решениями уравнения   при данных x являются любые функции, определенные для этих значений аргумента. В качестве примеров таких дифференциальных уравнений можно привести  .

В статье простейшие дифференциальные уравнения первого порядка. Вы можете ознакомиться с подробной теорией и посмотреть примеры решения таких ОДУ.

Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными вида   или  .

Дифференциальные уравнения   называют уравнениями с разделенными переменными.

Название этого вида дифференциальных уравнений достаточно показательно: выражения, содержащие переменные x и y, разделены знаком равенства, то есть, находятся по разные стороны от него.

Общее решение дифференциальных уравнений с разделенными переменными можно найти, проинтегрировав обе части равенства: ∫ f(y)dy = ∫ f(x)dx.

В качестве примеров ОДУ с разделенными переменными приведем  .

Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными приводятся к ОДУ с разделенными переменными делением обеих частей уравнения на произведение f₂(y) ⋅ g₁(x). То есть, получим  . Такое преобразование будет эквивалентным, если одновременно f₂(y) ≠ 0 и g₁(x) ≠ 0. Иначе могут потеряться некоторые решения.

Примерами ОДУ с разделяющимися переменными являются  .

Некоторые дифференциальные уравнения можно свести к уравнениям с разделяющимися переменными с помощью замены переменных.

Дифференциальные уравнения   приводятся к ОДУ с разделяющимися переменными подстановкой z = ax+by. К примеру, уравнение   с помощью подстановки z = 2x+3y преобретает вид  .

ОДУ   или   преобразуются к уравнениям с разделяющимися переменными с помощью замен   или  . Например, дифференциальное уравнение   после замены   принимает вид  .

Некоторые дифференциальные уравнения следует немного преобразовать, чтобы можно провести замену. К примеру, достаточно разделить на x² или y² числитель и знаменатель правой части дифференциального уравнения  , чтобы оно соответствовало случаям   или   соответственно.

Дифференциальные уравнения   преобразуются к только что рассмотренным ОДУ   или  , если ввести новые переменные  , где   - решение системы линейных уравнений   и провести некоторые преобразования.

Например, дифференциальное уравнение   после введения новых переменных   преобразуется к виду  . Проводим деление на u числителя и знаменателя правой части полученного уравнения и принимаем  . В результате приходим к уравнению с разделяющимися переменными  .

В разделе дифференциальные уравнения с разделяющимися переменнымиподробно разобрана теория и приведены подробные решения аналогичных примеров.

Линейные неоднородные дифференциальные уравнения первого порядка .

В качестве примеров линейных неоднородных дифференциальных уравнений первого порядка можно привести  .

Для решения ЛНДУ используют метод вариации произвольной постоянной. Также существует метод, основанный на представлении искомой функции y в виде произведения: y(x) = u(x)v(x).

В статье линейные неоднородные дифференциальные уравнения первого порядка подробно изложены методы интегрирования таких ЛНДУ и приведены подробные решения примеров и задач.

Дифференциальное уравнение Бернулли  .

Примерами дифференциальных уравнений Бернулли являются, например,  .

Дифференциальное уравнение Бернулли сводится к линейному дифференциальному уравнению первого порядка подстановкой  .

Можно также пользоваться методом, основанным на представлении функции yкак y(x) = u(x)v(x).

В разделе дифференциальное уравнение Бернулли подробно расписаны методы нахождения решений и разобраны решения примеров и задач.

Уравнения в полных дифференциалах  .

Если для любых значений x и y выполняется  , то этого условия необходимо и достаточно, чтобы выражение P(x, y)dx+Q(x, y)dyпредставляло собой полный дифференциал некоторой функции U(x, y) = 0, то есть, dU(x, y) = P(x, y)dx + Q(x, y)dy. Таким образом, задача сводится к восстановлению функции U(x, y) = 0 по ее полному дифференциалу.

К примеру, левая часть дифференциального уравнения  представляет собой полный дифференциал функции  .

2. Постановка задачи Коши. Теорема существования и единственности решения (теорема Коши).

Постановка задачи Коши 

Определение. Задача нахождения частного решения дифференциального уравнения, удовлетворяющего заданному начальному условию, называется задачей Коши.

Из всех разделов математического анализа, дифференциальные уравнения являются одним из самых важных по своим приложениям, ибо решая дифференциальное уравнение, т.е. находя некоторую функцию, мы устанавливаем закон, по которому происходит то или иное явление или процесс.

Определение. Решить задачу Коши для уравнения y'=f(x,y) (6.1) – это значит найти решение уравнения y'=f(x,y) в виде функции у(х), удовлетворяющей начальному условию у(х₀)=у₀

Геометрически это означает, что требуется найти интегральную кривую у=у(х), проходящую через заданную точку M₀(x₀,y₀) при выполнении равенства (6.1).

В классическом анализе разработано немало приемов нахождения решений дифференциальных уравнений через элементарные функции. Между тем весьма часто при решении практических задач эти методы оказываются либо совсем беспомощными, либо их решение связывается с недопустимыми затратами усилий и времени.

Например дифференциальное уравнение у'=у²+х² не имеет аналитического решения.

По этой причине для решения задач практически созданы методы приближенного решения дифференциальных уравнений.

Чаще всего при численном решении дифференциальных уравнений получают решение в виде таблицы, либо строится график искомой функции (что почти равносильно).

теорема о существовании и единственности решения задачи Коши.

Теорема Коши. Пусть в области D из Rⁿ⁺¹ непрерывны все компоненты вектора правой части F(x,Y) и их частные производные по Y:

Тогда, какова бы ни была начальная точка (x₀,Y₀) ≡ (x₀,y_{1, 0} ,y_{2, 0}, … ,y_{n, 0} ) ∈ D , существует такой отрезок [x₀ − h; x₀ + h] , что задача Коши   Y' = F(x,Y), что Y(x₀)=Y₀ имеет единственное решение.

 

Важно понимать, что теорема Коши имеет локальный характер: существование решения Y = Y(x) гарантируется лишь в достаточно малой окрестности точки x₀ , ( h > 0 может оказаться достаточно малым).

Важно также понимать, что теорема содержит только достаточные условия существования и единственности решения — при нарушении условий теоремы задача Коши может иметь или не иметь решений, может иметь несколько решений.

Легко проверить, что задача имеет два решения:

Нарушение единственности объясняется тем, что нарушены условия теоремы существования и единственности решения задачи Коши. Действительно

частная производная функции f₁(x,y₁,y₁) по y₁ разрывна в начальной точке (0, 0, 0).

3. Изоклины и их использования для построения интегральных кривых.

ИЗОКЛИНА

обыкновенного дифференциального уравнения 1-го порядка

- множество точек плоскости х, у, в к-рых наклон направлений поля, определяемого уравнением (*), один и тот же. Если к- произвольное действительное число, то k-изоклина уравнения (*) есть множество

(в общем случае - кривая); в каждой ее точке (ориентированный) угол между осью хи касательной к проходящему через эту точку решению уравнения (*) равен arctg к. Напр., 0-изоклина определяется уравнением f(x, y) = 0 и включает в себя те и только те точки плоскости х, у, в к-рых решения уравнения (*) имеют горизонтальную касательную. k-изоклина уравнения (*) является одновременно решением этого уравнения тогда и только тогда, когда она представляет собой прямую с угловым коэффициентом k.

Приближенное качественное представление о картине поведения интегральных кривых уравнения (*) можно составить, если построить И. данного уравнения для достаточно частого набора значений параметра kи отметить на каждой И. соответствующий наклон интегральных кривых (метод изоклин). Полезно также построить бесконечность-изоклину, определяемую уравнением l/f(x, у)-0;в точках бесконечность-изоклины интегральные кривые уравнения (*) имеют вертикальную касательную. Точки (локального) экстремума решений уравнения (*) могут лежать только на 0-изоклине, а точки перегиба решений - только на линии

Для уравнения 1-го порядка, не разрешенного относительно производной

F(x,y,y') = 0, k -изоклина определяется как множество

В случае автономной системы 2-го порядка

совокупность точек фазовой плоскости, в к-рых векторы фазовой скорости коллинеарны, есть И. уравнения

Рассмотрим обыкновенное дифференциальное уравнение 1–го порядка

Пусть y = y(x) решение уравнения.       

Интегральная кривая y = y(x) имеет касательную с угловым коэффициентом k  =  f(x, y(x)). Это означает, что через каждую точку (x, y) области определения функции f(x, y) можно провести небольшой отрезок с угловым коэффициентом k  =  f(x, y(x)).    

    Выполнив такое построение для всех узлов некоторой прямоугольной сетки в области определения правой части уравнения , получим изображение поля направлений.    

Когда узлы сетки расположены "достаточно часто" поле направлений дает полную картину поведения интегральных кривых.    

Метод изоклин — приближенный графический метод решения обыкновенных дифференциальных уравнений 1–го порядка.

  Метод позволяет "вручную" (без использования компьютера) построить изображение поля направлений и по этому изображению построить интегральную кривую, проходящую через заданную точку.       

Рассмотрим линии, в каждой точке которых угловой коэффициент интегральных кривых имеет одно и то же постоянное значение: f(x, y) = k, k= const.

 Такие кривые называются изоклинами дифференциального уравнения y' = f(x, y). Равенство f(x, y) = k — уравнение изоклины.    

В каждой точке (x, y) изоклины f(x, y) =k     интегральные кривые уравнения имеют один и тот же угол наклона αrctg(α) = k.

  Метод изоклин состоит в следующем.    

Строим достаточно густую сетку изоклин для различнх значений k и на каждой изоклине изображаем небольшие отрезки с наклоном k.

    Затем, начиная из точки (x₀, y₀), поводим линию, которая, будет пересекать каждую изоклину под углом, заданным полем направлений. Полученная таким образом кривая и будет приближенным изображением (эскизом) интегральной кривой уравнения, проходящей через точку (x₀,y₀).

Метод изоклин как метод приближенного решения задачи Коши устарел. В его в основе лежит алгоритм изображения фрагмента поля направления, а современные компьютеры могут мгновенно и как угодно подробно нарисовать поле направлений, и достаточно точно изобразить интегральную кривую.

Однако, метод изоклин эффективно работает как инструмент исследования поведения решений. Он позволяет изобразить области характерногоповедения интегральных кривых.

Например, изоклина f(x, y) = 0 — геометрическое место стационарных точек решения дифференциального уравнения, изоклины f(x, y) = k с большими значениями k показывают области быстрого роста решений и т.п.