7 Билет

1) Вероятность события А, которое может наступить лишь при условии появления одного из несовместимых событий В₁,В₂,...,В_n образующих полную группу, равна сумме произведений вероятностей каждого из этих  событий на соответствующую условную вероятность события А.

Р(А)=Р(В₁)Р_В1(А)+Р(В₂)Р_В2(А)+…+Р(В_n)Р_Bn(A)

Доказательство. По условию событие А может наступить, если наступит одно из несовместных событий В₁В₂…В_n. Другими словами, появление события А вызывает осуществление одного, безразлично какого, из несовместных событий В₁А,В₂А…В_nА. Пользуясь для вычисления вероятности события А теоремой сложения, получим:

Р(А)= Р(В₁А)+ Р(В₂А)+…+Р(В_nА)

Учитывая теорему умножения вероятностей

Р(А)=Р(В₁)Р_В1(А)+Р(В₂)Р_В2(А)+…+Р(В_n)Р_Bn(A)

2)Функцией распределения вероятностей F(x) случайной величины Х в точке х называется вероятность того, что в результате опыта случайная величина примет значение, меньше, чем х, т.е. F(x)=P{X < х}.  Рассмотрим свойства функции F(x).

1. F(-∞)=lim_(x→-∞)F(x)=0. Действительно, по определению, F(-∞)=P{X < -∞}. Событие (X < -∞) является невозможным событием: F(-∞)=P{X < - ∞}=p{V}=0.

2. F(∞)=lim_(x→∞)F(x)=1, так как по определению, F(∞)=P{X < ∞}. Событие Х < ∞ является достоверным событием. Следовательно, F(∞)=P{X < ∞}=p{U}=1.

3. Вероятность того, что случайная величина примет значение из интервала [Α Β] равна приращению функции распределения вероятностей на этом интервале. P{Α ≤X<Β}=F(Β)-F(Α).

4. F(x₂)≥ F(x₁ ), если x_2, > x₁, т.е. функция распределения вероятностей является неубывающей функцией.

5. Функция распределения вероятностей непрерывна слева. FΨ(x_o-0)=limFΨ(x)=FΨ(x_o) при х→ x_o

Различия между функциями распределения вероятностей дискретной и непрерывной случайных величин хорошо иллюстрировать графиками. Пусть, например, дискретная случайная величина имеет n возможных значений, вероятности которых равны P{X=x_k}=p_k, k=1,2,..n. Если x ≤ x₁, то F(Х)=0, так как левее х нет возможных значений случайной величины. Если x₁< x ≤ x₂ , то левее х находится всего одно возможное значение, а именно, значение х₁.

 

Значит, F(x)=P{X=x₁}=p₁.При x₂< x ≤ x₃ слева от х находится уже два возможных значения, поэтому F(x)=P{X=x₁}+P{X=x₂}=p₁+p₂. Рассуждая аналогично,приходим к выводу, что если х_k< x≤ x_k+1, то F(x)=1, так как функция будет равна сумме вероятностей всех возможных значений, которая по условию нормировки равна еденице. Таким образом, график функции распределения дискретной случайной величины является ступенчатым. Возможные значения непрерывной величины располагаются плотно на интервале задания этой величины, что обеспечивает плавное возрастания функции распределения F(x), т.е. ее непрерывность.

 

Рассмотрим вероятность попадания случайной величины в интервал [x, x+Δx], Δx>0: P{x≤X< x+Δx}=F(x+ Δx)-F(x). Перейдем к пределу при Δx→0:

lim_(Δx→0)P{x≤ X < x+Δx}=lim_(Δx→0)F(x+Δx)-F(x). Предел равен вероятности того, что случайная величина примет значение, равное х. Если функция F(x) непрерывна в точке х, то lim_(Δx→0)F(x+Δx)=F(x), т.е. P{X=x}=0.

Если F(x) имеет разрыв в точке х, то вероятность P{X=x} будет равна скачку функции в этой точке. Таким образом, вероятность появления любого возможного значения для непрерывной величины равна нулю. Выражение P{X=x}=0 следует понимать как предел вероятности попадания случайной величины в бесконечно малую окрестность точки х при P{Α< X≤ Β},P{Α ≤ X< Β},P{Α< X< Β},P{Α ≤ X≤ Β} равны, если Х - непрерывная случайная величина. Для дискретных величин эти вероятности неодинаковы в том случае, когда границы интервала Α и(или) Β совпадают с возможными значениями случайной величин. Для дискретной случайной величины необходимо строго учитывать тип неравенства в формуле P{Α ≤X<Β}=F(Β)-F(Α).