26 Билет

1)Формула полной вероятности.

Вероятность события А, которое может наступить лишь при условии появления одного из несовместимых событий В₁,В₂,...,В_n образующих полную группу, равна сумме произведений вероятностей каждого из этих  событий на соответствующую условную вероятность события А.

Р(А)=Р(В₁)Р_В1(А)+Р(В₂)Р_В2(А)+…+Р(В_n)Р_Bn(A)

Доказательство. По условию событие А может наступить, если наступит одно из несовместных событий В₁В₂…В_n. Другими словами, появление события А вызывает осуществление одного, безразлично какого, из несовместных событий В₁А,В₂А…В_nА. Пользуясь для вычисления вероятности события А теоремой сложения, получим:

Р(А)= Р(В₁А)+ Р(В₂А)+…+Р(В_nА)

Учитывая теорему умножения вероятностей

Р(А)=Р(В₁)Р_В1(А)+Р(В₂)Р_В2(А)+…+Р(В_n)Р_Bn(A)

27 Билет

Случайная величина называется дискретной, если ее множество значений счетно.

Любое пространство элементарных событий не являющееся дискретным, называется недискретным, и при этом, если наблюдаемыми результатами (нельзя произноситьслучайными событиями) являются точки того или иного числового арифметического или координатного пространства, то пространство называется непрерывным(континуум). Пространство элементарных событий   вместе с алгеброй событий   и вероятностью   образует тройку  , которая называется вероятностным пространством.

Законы распределения дискретных случайных величин.

 

Так как дискретная случайная величина имеет конечное или счётное множество значений, то их можно просто перечислить и указать соответствующие вероятности. Это можно сделать, например, в форме таблицы

 

X	x1	x2	...	xn	...
P	p1	p2		pn

 

 где,   - вероятность того, что X примет значение x .

 

Такую таблицу называют рядом распределения.

События  … несовместимы и в результате опыта одно из них обязательно происходит. Из этого следует

Для наглядности ряд распределения можно изобразить геометрически.

 

 

 

 

 

 

Для этого из каждой точки   откладывают вверх отрезок равный  .На рисунке изображен многоугольник распределения.

Примеры дискретных сл.вел: 1). Индикатор события I. Эта случайная величина имеет закон распределения : Если вероятность появления события   в некотором опыте равна p, то I принимает значение 1, если событие произошло, и значение 0, если событие не произошло. I можно назвать числом появлений события в одном опыте.

I	0	1
P	q	р

 

 

 

2). Биномиальный закон распределения. Случайная величина может принимать значения 0,1,2,…,n и каждому значению X=m соответствует вероятность  , где p+q=1. Этот закон распределения считается заданным, если известны числа n и p, через которые выражаются все вероятности. Случайную величину подчинённою этому закону   можно назвать числом появле­нии события в n независимых опытах.

З). Пуассоновский закон распределения. Случайная велbчина имеет возможные значения 0,1,2,3,…… и каждому значению Х=m со­ответствует вероятность  ,где   - некоторый параметр, вероятностный смысл которого будет указан несколько страниц спустя.

4). Гипергеометрический закон распределения. Возможные значения X: 0,1,…,n. И каждому значению X=m соответ­ствует вероятность P(X=m)=P = .  Эта случайная величина, например, равна числу m бракованных изделий среди n взятых наугад из партии объёма N, содержащей Mбракованных изделий.

5). Геометрический закон распределения.

X	1	2	3	…	n	…
P	p	qp		…		…

  q=1-p

Если, например, p – вероятность изготовления бракованной детали, то случайная величина X с этим законом распределения будет равна общему числу деталей     до момента изготовления первой бра­кованной детали.

Построение ряда распределения удобно лишь для дискретных случайных величин, так как можно перечислить их все возможные значения.