20 Билет

1)Формула Бейеса

По условию теоремы о полной вероятности заранее не известно, какое из событий, В₁,В₂,...,В_n, должно произойти для наступления события А по этому эти несовместимые события образующие полную группу назв. Гипотезами.

Их обозначают H_i

Пусть проведено испытание и появилось события А. Теперь можно определить как сказалось наступления события А на вероятность гепотез. Тоесть найдем условные вероятностиP_А(H_i), i=1,n

По теореме умножения вероятностей

P(AH_i)=P(A)P_A(H_i)=P(H_i)P_Hi(A) отсюда

Применмв для А ФОРМУЛУ ПОЛНОЙ ВЕРОЯТНОСТИ получим

 

2) Функция распределения

Известно, что если события составляют полную совокупность, то  . Тогда совокупность всех возможных значений случайной величины и соответствующих им вероятностей составляетраспределение случайной величины.

Определение. Законом распределения или функций распределения случайной величины называется всякое соответствие между всевозможными значениями случайной величины и соответствующим им вариантом.

Определение. Случайные величины называются независимыми, если закон распределения одной не зависит от закона распределения другой.

В противном случае величины будут зависимыми.

Для дискретной случайной величины, которая может принимать значения   _ функция распределения имеет вид:

(1)

Выражение (1) читается так: "функция распределения численно равна вероятности того, что случайная величина   примет значение не больше, чем   ".

Пусть теперь некоторая случайная величина примет значения из ряда   с вероятностями  , соответственно. Тогда очевидно, что вероятность того, что значение случайной величины   будет меньше   равно 0:  , а вероятность того, что   будет меньше  , равна  :  . Вероятность, что случайная величина   будет меньше   будет равна  , так как   - это вероятность варианты  , а   - вероятность варианты  . Случайная величина принимает одно значение из двух   либо  , потому  . Но тогда, рассуждая аналогично, получаем:

Последнее выражение равно 1, так как все пять событий образуют полную группу. Здесь   любое число, которое просто больше  ,  . Сказанное можно изобразить графически ( рис.9.1 ), если по оси ординат откладывать вероятности   по оси абсцисс – сами значения случайной величины.

Рис. 9.1.  Дискретная функция распределения случайной величины

Очевидно, что

Если бы наша случайная величина была бы непрерывной, то тогда распределенное   выглядела несколько бы иначе ( рис.9.2 ).

Рис. 9.2.  Функция распределения для непрерывной случайной величины

Свойства функции F(x)

Функции распределения для дискретной и непрерывной величин обладают рядом одинаковых очевидных свойств, в вытекающих из ее определения.

Свойство 1. Функция распределения есть не отрицательная функция, значение которой изменяются от 0 до 1:

(2)

Свойство 2. Вероятность попадания случайной величины в некоторый интервал   равно разности значений функций распределений на концах этого интервала

(3)

Следствие. Вероятность попадания непрерывной случайной величины в не конкретный интервал равна нулю.

Свойство 3. Функция распределения случайной величиной есть не убы-вающая функция, т. е. при   имеем

или

Свойство 4. Значение функции распределения на   равно нулю, и единице ? на  , т.е.

Пример 1. Построить функцию распределения вариационного ряда   

Таблица возможных исходов
Xi	1	2	3	4	5	6
Mi	3	2	6	7	5	2

Решение. Найдем вероятности вариант. Если  , то имеем

Теперь построим функцию распределения математически (4)

(4)

и графически (рис.9.3 ).

Рис. 9.3.  Функция распределения