- •1 Билет
- •Размещения, перестановки, сочетания
- •Свойства чисел
- •Треугольник Паскаля
- •2 Билет
- •3 Билет
- •Операции над событиями
- •4 Билет
- •5 Билет
- •Геометрическая вероятность
- •6 Билет
- •7 Билет
- •8 Билет
- •9 Билет
- •10 Билет
- •11 Билет
- •1)Формула Бернулли Наивероятнейшее число наступлений события.
- •12 Билет
- •13 Билет
- •1)Дискретные случайные величины (дсв). Формы задания закона распределения вероятностей
- •14 Билет
- •15 Билет
- •1) Размещения, перестановки, сочетания
- •Свойства чисел
- •Треугольник Паскаля
- •16 Билет
- •Операции над событиями
- •17 Билет
- •18 Билет
- •1) Формула полной вероятности.
- •19 Билет
- •1) Формула Пуассона
- •20 Билет
- •1)Формула Бейеса
- •2) Функция распределения
- •21 Билет
- •Сложение и умножение вероятностей
- •22 Билет
- •23 Билет
- •2) Классическое определение вероятности события. Свойства вероятности. Аксиоматическое определение вероятности.
- •24 Билет
- •25 Билет
- •Операции над событиями
- •26 Билет
- •1)Формула полной вероятности.
- •27 Билет
- •2) Числовые характеристики непрерывных случайных величин
- •28 Билет
- •1)Классическое определение вероятности события. Свойства вероятности. Аксиоматическое определение вероятности.
- •29 Билет
- •1) Плотность распределения
- •30 Билет
- •1) Формула полной вероятности.
19 Билет
1) Формула Пуассона
Если n велико, то вероятность Рn(т) сколь угодно мало отличается от своего предела. Отсюда при больших п для искомой вероятности Рn(т) имеем приближенную формулу Пуассона
где
Вообще, формулу Пуассона можно применять в случаях, когда число испытаний n «велико», вероятность события рп «мала», а «не мало и не велико».
Локальная теорема Лапласа
Легко видеть, что пользоваться формулой Бернулли при больших значениях п достаточно трудно, так как формула требует выполнения действий над громадными числами.
Локальная теорема Лапласа дает асимптотическую формулу, которая позволяет приближенно найти вероятность появления события ровно m раз в n испытаниях, если число испытании достаточно велико.
Если вероятность р появления события А в каждом испытании постоянна и отлична от нуля и единицы, то вероятность Pn(m) того, что событие А появится в n испытаниях ровно mраз, приближенно равна (тем точнее, чем больше n) значению функции
q=1-p,
при m→∞ погрешность формулы →0.
Смысл пораметра t здесь среднее значение числа появления события А в m испытаниях.
Величина m-np есть отклонение числа появления события
- некий масштаб для отклонения при n испытаниях.
Величина t можно наглядно представить себе как отклонение числа появления событий А от среднего значения в масштабе σ.
Введём функцию
Тогда функция Лапласа запишется в виде:
Интегральная теорема Лапласа.
Поставим вопрос: какова вероятность Рп(т1, т2) того, что в условиях схемы Бернулли событие А, имеющее вероятность Р(А) = р (0 < р < 1), при п испытаниях появляется не менее т1 раз и не болеет2 раз?
Отсюда, используя локальную теорему Лапласа, приближенно будем иметь
где
И следовательно
Сумма является интегральной для функции φ0(£) на отрезке (tm1,tm2). При n→∞, т. е. при ∆tm→0, ее предел есть соответствующий определенный интеграл. Поэтому, считая п достаточно большим, получаем приближенную формулу
Это составляет содержание интегральной теоремы Лапласа. Введем стандартный интеграл вероятностей (функцию Лапласа)
интегральная формула Лапласа.
2) Для наглядности строят различные графики статистического распределения.
По данным дискретного вариационного ряда строят полигон частот или относительных частот.
Полигоном частот называют ломанную, отрезки которой соединяют точки (x1; n1), (x2; n2), ..., (xk; nk). Для построения полигона частот на оси абсцисс откладывают варианты xi, а на оси ординат - соответствующие им частоты ni. Точки ( xi; ni) соединяют отрезками прямых и получают полигон частот (Рис. 1).
Полигоном относительных частот называют ломанную, отрезки которой соединяют точки (x1; W1), (x2; W2), ..., (xk; Wk). Для построения полигона относительных частот на оси абсцисс откладывают варианты xi, а на оси ординат - соответствующие им относительные частоты Wi. Точки ( xi; Wi) соединяют отрезками прямых и получают полигон относительных частот.
В случае непрерывного признака целесообразно строить гистограмму.
Гистограммой частот называют ступенчатую фигуру, состоящую из прямоугольников, основаниями которых служат частичные интервалы длиной h, а высоты равны отношению ni / h (плотность частоты).
Для построения гистограммы частот на оси абсцисс откладывают частичные интервалы, а над ними проводят отрезки, параллельные оси абсцисс на расстоянии ni / h.
Площадь i - го частичного прямоугольника равна hni / h = ni - сумме частот вариант i - го интервала; следовательно, площадь гистограммы частот равна сумме всех частот, т.е. объему выборки.
Гистограммой относительных частот называют ступенчатую фигуру, состоящую из прямоугольников, основаниями которых служат частичные интервалы длиной h, а высоты равны отношению Wi / h (плотность относительной частоты).
Для построения гистограммы относительных частот на оси абсцисс откладывают частичные интервалы, а над ними проводят отрезки, параллельные оси абсцисс на расстоянии Wi / h (Рис. 2).
Площадь i - го частичного прямоугольника равна hWi / h = Wi - относительной частоте вариант попавших в i - й интервал. Следовательно, площадь гистограммы относительных частот равна сумме всех относительных частот, т.е. единице.
Рис. 1. Полигон частот |
Рис. 2. Гистограмма относительных частот |