16 Билет

Случа́йное собы́тие — подмножество множества исходов случайного эксперимента; при многократном повторении случайного эксперимента частота наступления события служит оценкой его вероятности.

Случайное событие, которое никогда не реализуется в результате случайного эксперимента, называется невозможным и обозначается символом  . Случайное событие, которое всегда реализуется в результате случайного эксперимента, называется достоверным и обозначается символом  .

Операции над событиями

1. Событие C называется суммой A+B, если оно состоит из всех элементарных событий, входящих как в A, так и в B. При этом если элементарное событие входит и в A, и в B, то в C оно входит один раз. В результате испытания событие C происходит тогда, когда произошло событие, которое входит или в A или в B. Сумма произвольного количества событий   состоит из всех элементарных событий, которые входят в одно из Ai, i=1, ..., m.

 

 2. Событие C произведением A и B, если оно состоит из всех элементарных событий, входящих и в A, и в B. Произведением произвольного числа событий   называется событие состоящее из элементарных событий, входящих во все Ai, i=1, ..., m.

 3. Разностью событий A-B называется событие C, состоящее из всех элементарных событий, входящих в A, но не входящих в B.

 

 4. Событие   называется противоположным событию A, если оно удовлетворяет двум свойствам.

Формулы де Моргана:     и  

 

5. События A и B называются несовместными, если они никогда не могут произойти в результате одного испытания.

События A и B называются несовместными, если они не имеют общих элементарных событий.

C=AxB=V

Тут V - пустое множество.

Свойства операций над событиями

1.  =Ø 6. А = А

2. А + А = А 7. А Ø = Ø Коротко. Если А  В, то

3. А А = А 8  = А А + В = В

4. А +  = 9. А В = А

5. А + Ø = А 10.  = Ø

Коммутативность операций

А + В = В + А; А В = В А

Ассоциативность операций

А + (В + С) = (А + В) + С = А + В + С А(В С) = (А В) С = А В С

Дистрибутивность операции сложения относительно умножения

А (В + С) = А В + А С

Дистрибутивность операции умножения относительно сложения

А + (В С) = (А + В)(А + С)

Пример. Вычислим (A+B)(A+C)=AA+BA+AC+BC=A+BC.

В самом деле, BAÌA, ACÌA, AA=A, тогда AA+BA=A, A+AC=A.

Правило двойственности (теорема де Моргана)

Для всякого сложного события, выраженного через сумму и произведение (даже счетного количества) событий, противоположное событие может быть получено путем замены событий им противоположными и замены знака произведения на знак суммы, а знака суммы на знак произведения, при оставлении порядка операций неизменным

17 Билет

1) Случайное событие определено как событие, которое при осуществлении совокупности условий эксперимента может произойти или не произойти. Если при вычислении вероятности события никаких других ограничений, кроме условий эксперимента, не налагается, то такую вероятность называют безусловной; если же налагаются и другие дополнительные условия, то вероятность события называют условной. Например, часто вычисляют вероятность события В при дополнительном условии, что произошло событие А.

Условной вероятностью   (два обозначения) называют вероятность события В, вычисленную в предположении, что событие А уже наступило.

Вероятность совместного появления двух зависимых событий равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность второго, вычисленную при условии, что первое событие произошло, т.е.

.

В частности, отсюда получаем  .

В теории вероятностей два случайных события называются независимыми, если наступление одного из них не изменяет вероятность наступления другого. Аналогично, две случайные величины называют независимыми, если значение одной из них не влияет на вероятность значений другой.

Функция распределения полностью характеризует случайную величину, однако, имеет один недостаток.  По функции распределения трудно судить о характере распределения случайной величины в небольшой окрестности той или иной точки числовой оси.

 2)

            Определение. Плотностью распределения вероятностей непрерывной случайной величины Х называется функция f(x) – первая производная от функции распределения F(x).

            Плотность распределения также называют дифференциальной функцией. Для описания дискретной случайной величины плотность распределения неприемлема.

            Смысл плотности распределения состоит в том, что она показывает как часто появляется случайная величина Х в некоторой окрестности точки х при повторении опытов.

            После введения функций распределения и плотности распределения можно дать следующее определение непрерывной случайной величины.

 

            Определение.  Случайная величина Х называется непрерывной, если ее функция распределенияF(x) непрерывна на всей оси ОХ, а плотность распределения f(x) существует везде, за исключением( может быть, конечного числа точек.

 

            Зная плотность распределения, можно вычислить вероятность того, что некоторая случайная величина Х примет значение, принадлежащее заданному интервалу.

 

            Теорема. Вероятность того, что непрерывная случайная величина Х примет значение, принадлежащее интервалу (a, b), равна определенному интегралу от плотности распределения, взятому в пределах от a до b.

Доказательство этой теоремы основано на определении плотности распределения и третьем свойстве функции распределения, записанном выше.

 

            Геометрически это означает, что вероятность того, что непрерывная случайная величина примет значение, принадлежащее интервалу (a, b), равна площади криволинейной трапеции, ограниченной осью ОХ, кривой распределения f(x) и прямыми x=a и x=b.