50. Частная автокорреляционная функция стационарного временного ряда и алгоритм её оценивания.

Рассмотрим уровни ряда u_t на отрезке [t;t+ τ] (u_t, u_t+1 , … , u_{t+ τ -1,} u_{t+ τ})

Удалим(при помощи уравнения регрессии) влияние членов u_t, … , u_{t+ τ-1} из уровней u_t и u_{t+ τ}. После этого рассмотрим ковариацию остатков u_t и u_{t+ τ}. Это и будет частная автокорреляционная функция в точке τ.

Ϭ_uu^(p)(τ)= (2.10)

На основании 2.10 дается определение частной автокорреляционной функции стационарного ряда

ρ_uu^(p)(τ)=

Частная автокорреляционная функция белого шума имеет уравнение

ρ_ξξ^(p)(τ)= ρ_ξξ(τ)=

Можно обосновать следующий алгоритм оценивания частной автокорреляционной функции ряда по его реализации :

Оценить МНК параметры модели

1.

2. Принять

оценкой ρ_uu^(p)(τ) оценку β_τ.

50. Модель ar(p) и её идентификация.

Авторегрессия первого порядка:

, ,имеет смысл коэффициента корреляции уровней ряда в соседние моменты времени.

Автокорреляционная функция имеет уровни ρ_uu(i,j)=ρ^|i-j|=ρ^τ и экспоненциально убывает с ростом лага τ

При ρ=0 ряд превращается в WN. Если ρ=1, то ряд становится нестационарным рядом, называющимся случайным блужданием.

Теорема позволяющая идентифицировать временной ряд AR(1):

Если u_tϵAR(1), то его частная автокорреляционная функция тождественно равна 0, при τ>1

ρ_uu^(p)(τ)=

Модель авторегрессии порядка р задается поведенческим уравнением:

u_t=β₁u_t-1+ β₂u_t-2+…+ β_pu_t-p+ξ_t

Для модели AR(p) частная автокорреляционная функция авна 0 при .

50. Модель ma(q) и её идентификация.

Модель первого порядка:

Теорема. Если u_tϵMA(1) то

1. Ряд порожденный этой моделью является стационарным

2. E(u_t)=0, Ϭ_u²=Ϭ_ξ²(1+γ²)

3. Автокорреляционная функция ряда MA(1) имеет уравнение:

ρ_uu(τ)=

Рекурсивное уравнение модели:

u_t=γ₁ξ_t-1+ γ ₂ξ_t-2+…+ γ _pξ_t-p+ξ_t

Теорема. Если u_tϵMA(q) то ρ_uu(τ)=0 при τ>q.

53. Оптимальный линейный алгоритм прогнозирования уровней стационарного временного ряда.

Пусть уровни ряда u_t STS наблюдались в моменты времени t=1,2,…,n. Результаты этих наблюдений обозначим символами u₁, u₂,…,u_n. Расположим эти результаты в обратном порядке и будем интерпретировать такой набор как случайный вектор , т.е.

^T=(u_n,..,u₂,u₁) (1).

Задача прогнозирования заключается в построении правила прогноза будущего уровня _n+τ наблюдаемого ряда по его известным уровням (1), следовательно _n+τ есть значение некоторой функции f наблюдаемых уровней (1):

_n+τ=f (u₁, u₂,…,u_n). (2)

Прогноз будет являться оптимальным, если он удовлетворяет требованиям, предъявляемым к статистическим процедурам: (3)

Прогнозный алгоритм оптимальный в множестве всех функций аргумента- это условное математическое ожидание :

u₁, u₂,…,u_n). (4)

Пусть временной ряд u_t STS является гауссовским, т .е. его уровни образуют нормально распределенный случайный вектор

^T=( u₁, u₂,…,u_n,…,u_t+τ,…,u_N). (5)

Вектор наблюдений (1) роль объясняющего вектора , поэтому

(6)

Здесь Будущий уровень ряда _n+τ интерпретируем как вектор . Так что .

Ковариационная матрица . Находим матрицу = ^T.

Тогда оптимальный алгоритм прогнозирования уровней гауссовского стационарного временного ряда принимает вид

u₁, u₂,…,u_n)= ^T (7)

Алгоритм (7) является линейным. Действительно, проведя перегруппировку членов в правой части равенства (7), увидим, что

a₀+a₁u_n+a₂u_n-1+…+a_nu₁.