31. Свойства мнк-оценок параметров линейной модели множественной регрессии (лммр) при нормальном векторе случайных остатков: закон распределения дроби .
-
стандартная ошибка (оценка среднего
квадратического отклонения) компоненты
.
Докажем, что случайная переменная
(8.107)
имеет закон распределения Стьюдента с количеством степеней свободы n-(k+1), т.е.
(8.108)
Доказательство.
Разделим
числитель и знаменатель дроби (8.107) на
константу
.
Учитывая (из 30-го вопроса), получим:
(8.109)
Здесь
символом
обозначена стандартная нормально
распределённая случайная переменная.
-
дробь Стьюдента с n
степенями свободы
(7.47)
С учётом (7.47) и (8.109) получим представление (8.108)
32. Оценивание параметров линейной модели множественной регрессии (лммр) при нормальном векторе случайных остатков методом максимального правдоподобия (ммп).
Задача:
пусть в схеме Гаусса-Маркова
вектор случайных остатков с числовыми
характеристиками
,
, имеет нормальный закон распределения.
Требуется оценить параметры
и
модели методом максимального
правдоподобия.
Решение: Будем предполагать, что объясняющие переменные в модели
детерминированные,
матрицу
полагаем известной. Из
и сделанного предположения о числовых
характеристиках и законе распределения
вектора
следует, что вектор
тоже обладает нормальным законом
распределения
с
числовыми характеристиками
и
.
Для отыскания оценок параметров ММП действуем согласно следующему алгоритму:
1)
составим функцию правдоподобия выборки
(
и вычисляем ее логарифм:
2) Найдем производные логарифма по аргументам и приравняем их к нулю:
3)
Решаем полученную систему уравнений.
Сначала из первого уравнения ( после
умножения его на
) находим
:
Затем
подставляем его во второе уравнение
системы и после умножения этого уравнения
на
находим
=
, где
. Полученные величины образуют решение
системы и являются искомыми ММП-оценками
параметров (эффективными и ассимптотически
несмещенными).
34. Спецификация и оценивание нелинейных по коэффициентам моделей множественной регрессии со специальными функциями регрессии (на примере производственной модели с функцией Кобба-Дугласа).
Примером нелинейной по коэффициентам функции регрессии служит производственная функция Кобба-Дугласа:
(1)
В
ней Y
– уровень выпуска продукции за принятый
отрезок времени; K
и L
– уровни соответственно основного
капитала и живого труда, использованные
в процессе выпуска величины Y.
Подчеркнём, что функция не линейна по
коэффициентам
.
Это значит, что оценить параметры
эконометрической модели с такой функцией
регрессии строго нельзя ни одним из
обсуждённых методов. Заметим, однако,
что преобразование логарифмирования
позволяет трансформировать функцию
К-Д к линейной по коэффициентам:
(2)
Функция регрессии в уравнении (1) называется стандартной, поскольку операция логарифмирования трансформировала её к линейной по коэффициентам.
С учётом свойств операции логарифмирования составим следующим образом спецификацию модели товаров и услуг в стране:
(3)
(случайные возмущения включили в виде подходящего сомножителя)
После операции логарифмирования с учётом отмеченных в (2) обозначений, мы получили трансформацию модели (3) в виде базовой модели эконометрики:
После оценивания линеаризованной модели можно вернуться при помощи операции возведения в степень к оценке исходной модели (3), где
