Метод Монте-Карло (метод статистических испытаний)
Применение метода Монте-Карло в имитационном моделировании. Каждый раз, когда на ход моделируемого процесса оказывает влияние случайный фактор, его действие имитируется с помощью специально организованного розыгрыша (жребия). Таким образом, строится одна случайная реализация моделируемого явления, представляющая собой как бы один результат опыта. По одному опыту, конечно, нельзя судить о закономерностях изучаемого процесса. Но при большом числе реализаций средние характеристики, вырабатываемые моделью, приобретают свойство устойчивости, которое усиливается с увеличением числа реализаций. Организация розыгрыша (жребия) осуществляется посредством использования случайной величины, равномерно распределенной на отрезке [0,1], из которой различными преобразованиями получают искомую имитационную модель случайного фактора.
Понятие метода Монте-Карло. Представим отрезок [0,1] линией, образующей окружность. Тогда случайная величина, равномерно распределенная на отрезке [0,1], окажется равномерно распределенной по длине окружности. Получаем аналогию с игрой в рулетку. В связи с этим разнообразные модели равномерно распределенной случайной величины часто называют рулеткой, а метод статистических испытаний получил название метода Монте-Карло (по названию курорта в княжестве Монако на берегу Средиземного моря, в игорных домах которого распространена игра в рулетку).
Общие представления об оценке точности результатов, полученных методом Монте-Карло. Точность статистических оценок параметров реальной системы зависит от числа наблюдений (объема выборки). Погрешности в оценках обусловлены как статистическим характером самой модели, так и влиянием начальных данных (начального состояния имитационной модели), а также возможной автокорреляцией последовательных значений некоторого параметра в процессе моделирования. Очевидно, что с увеличением числа испытаний точность моделирования должна возрастать. Ввиду того что увеличение объема выборки связано с ростом затрат на моделирование, важно уметь определять минимальное число испытаний, необходимое для достижения заданной точности оценки с заданной вероятностью.
Оценка точности метода Монте-Карло
при известной дисперсии. Пусть
значения
,
представляют собой результаты T
последовательных измерений значений
случайной величины y
во время одного и того же сеанса имитации.
Среднее по времени значение y
определяется выражением
.
Обозначим через
математическое ожидание случайной
величины y. Тогда для
достаточно большого T
получаем
.
Оценка дисперсии величины
(если временной ряд не является
автокоррелированным) имеет вид
,
где
– дисперсия случайной величины y.
Оценка точности метода Монте-Карло
при неизвестной дисперсии. Для
оценки точности результатов, полученных
методом Монте-Карло при неизвестной
дисперсии наблюдаемой случайной
величины, предположим, что Z
– характеристика, которая должна быть
определена (вероятность события,
математическое ожидание, дисперсия и
т.п.), а – ее
значение, уточняемое по мере накопления
данных, остающееся случайным вследствие
ограниченности числа T
проведенных наблюдений. В этих условиях
можно говорить о вероятности
по отношению к интересующей нас
характеристике. Величина
представляет собой погрешность в оценке
Z, а
– некоторый допустимый ее предел. Из
неравенства Чебышева следует
,
откуда
,
откуда при заданных p
и и при известной
зависимости
можно найти предельно необходимое T.
Известно, что истинная дисперсия
выборочного распределения для расчетного
среднего обратно пропорциональна
суммарному числу наблюдений T,
т.е.
,
где d не зависит от T.
В начале имитационного процесса требуемое
число наблюдений определить обычно не
удается, поскольку величина d
неизвестна. Поэтому, как правило,
эксперимент проводят в два этапа. На
первом этапе число испытаний выбирается
относительно небольшим, в результате
определяется величина d.
После этого можно уже определить, сколько
дополнительных наблюдений необходимо,
чтобы была достигнута требуемая точность.
Предельно необходимое число наблюдений
определяется формулой
.
При любом числе наблюдений больше
обеспечивается требуемая точность.