Понятие потока событий, принципы классификации потоков событий

Поток вызовов (в общем случае – событий) – это последовательность вызовов, поступающих через какие-либо интервалы или в какие-либо моменты времени.

Детерминированные и случайные потоки вызовов.

Детерминированный поток вызовов – это последовательность вызовов, в которой вызовы поступают в определенные, строго фиксированные неслучайные моменты или через определенные, строго фиксированные, неслучайные промежутки времени. Является частным случаем случайного потока.

Случайный поток вызовов – это последовательность вызовов, в которой вызовы поступают в случайные моменты или через случайные промежутки времени.

Способы (эквивалентные) определения потоков вызовов.

1. Последовательностью вызывающих моментов , , …, .

2. Последовательностью промежутков времени между вызывающими моментами , , …, .

3. Последовательностью чисел , , …, , определяющих количество вызовов, поступающих в течение заданных отрезков времени , , …, .

Вызывающий момент – это момент одновременного поступления одного, двух и более вызовов; для вызывающих моментов всегда, если , то , в то время как для момента поступления вызова и .

Способы (эквивалентные) задания случайных потоков вызовов.

1. Совместный закон распределения n случайных вызывающих моментов

,

где – i-й вызывающий момент, n – любое.

2. Совместный закон распределения n случайных промежутков времени между вызывающими моментами

,

где – промежуток времени между (i-1)- и i-м вызывающими моментами, n – любое.

3. Совместный закон распределения числа вызовов K на n отрезках времени , , …, :

,

где n – любое; ; .

Однородные и неоднородные потоки вызовов.

Неоднородный поток вызовов – это такой поток вызовов, в котором каждый вызов имеет более одной характеристики.

Однородный поток вызовов – это поток вызовов, характеризующийся последовательностью, определяющей только закономерность поступления вызовов, т.е. последовательностью моментов поступления вызовов или промежутков времени между вызовами, либо иным способом задания потока.

Финитные потоки вызовов.

Финитный поток вызовов – это поток вызовов, в котором на любом конечном отрезке времени поступает конечное число вызовов и математическое ожидание числа поступающих вызовов также является конечной величиной.

Ведущая функция потока – это функция , численно равная математическому ожиданию числа вызовов, поступающих в интервале времени . Данная функция неотрицательная, неубывающая и в практических задачах обычно принимает конечное значение (финитный поток).

Регулярный поток вызовов – это поток вызовов с непрерывной ведущей функцией. Для него вероятность поступления хотя бы одного вызова в определенный момент времени равна нулю.

Сингулярный поток вызовов – это поток вызовов со ступенчатой ведущей функцией. Для него вероятность поступления хотя бы одного вызова в моменты разрыва ведущей функции отлична от нуля.

Потоки вызовов, представляющие наибольший интерес в теории массового обслуживания – случайные однородные финитные регулярные потоки. Они классифицируются с точки зрения стационарности, ординарности и последействия.

Стационарность потока.

Стационарный поток вызовов – это поток вызовов, для которого при любом n совместный закон распределения числа вызовов за промежутки времени , , …,

зависит только от длины промежутков времени и не зависит от момента . Это значит, что для стационарного потока вероятность поступления некоторого числа вызовов за какой-то промежуток времени зависит от длины этого промежутка и не зависит от его начала.

Нестационарный поток вызовов – это поток вызовов, не являющийся стационарным.

Ординарность потока.

Ординарный поток вызовов – это поток вызовов, для которого имеет место равенство

,

где – вероятность поступления k и более вызовов за промежуток ,

т.е. , где – величина более высокого порядка малости по отношению к .

Ординарность потока выражает практическую невозможность одновременного поступления двух и более вызовов в любой момент времени.

Неординарный поток вызовов – это поток вызовов, не являющийся ординарным.

Последействие потока.

Поток без последействия – это поток вызовов, для которого вероятность поступления вызовов за промежутки

не зависит от вероятностного процесса поступления вызовов до момента .

Иными словами, отсутствие последействия потока означает независимость течения случайного потока вызовов после какого-либо момента времени от его течения до этого момента.

Поток с последействием – это поток вызовов, для которого вероятность поступления того или иного числа вызовов за некоторый промежуток времени зависит от процесса поступления вызовов до начала этого промежутка.

Характеристики потоков вызовов.

Основные характеристики потоков вызовов:

• ведущая функция потока;

• параметр потока;

• интенсивность потока.

Параметр потока в момент времени t – это предел отношения вероятности поступления хотя бы одного вызова за время к длине этого отрезка времени  при :

,

т.е. параметр потока есть плотность вероятности наступления вызывающего момента в момент t.

В отличие от ведущей функции потока, параметр потока характеризует не поток вызовов, а поток вызывающих моментов, и эта характеристика относится не к отрезку времени, а к фиксированному моменту.

Интенсивность стационарного потока  – это математическое ожидание числа вызовов, поступающих в единицу времени. Единица времени может быть выбрана произвольно, однако в теории массового обслуживания в качестве такой единицы большей частью принимают среднее время обслуживания обслуживающим прибором.

Связь между ведущей функцией и интенсивностью  для стационарного потока: .

Интенсивность нестационарного потока понимается в смысле средней и мгновенной интенсивностей.

Средняя интенсивность потока на отрезке времени есть

.

Мгновенная интенсивность потока в момент t есть производная ведущей функции потока:

.

Так же как и параметр потока, мгновенная интенсивность потока относится не к отрезку времени поступления вызовов, а только к моменту времени. В то же время, в отличие от параметра потока, характеризующего поток вызывающих моментов, мгновенная интенсивность потока характеризует поток поступления вызовов.

Для любых потоков вызовов , причем для ординарных потоков . Для стационарных потоков интенсивность и параметр постоянны: , . Следовательно, для любых стационарных потоков , а для стационарных ординарных .

Классификация потоков без последействия.

• Простейший (пуассоновский, стационарный пуассоновский) – стационарный ординарный поток без последействия.

• Нестационарный пуассоновский – нестационарный ординарный поток без последействия.

• Неординарный пуассоновский – стационарный неординарный поток без последействия.

• Нестационарный неординарный поток без последействия.

Простейший (пуассоновский) поток вызовов.

Простейший поток – это стационарный ординарный поток без последействия. Он является наиболее распространенной моделью реального потока вызовов, применяемой в СМО.

Связь простейшего потока с распределением Пуассона: число вызовов простейшего потока с параметром  за отрезок времени длины t есть дискретная случайная величина, имеющая распределение Пуассона с параметром . Поэтому как математическое ожидание, так и дисперсия этой случайной величины равны .

Формула Пуассона для простейшего потока:

,

где – вероятность поступления точно k вызовов простейшего потока за отрезок времени длины t,

 – параметр простейшего потока.

Теорема суммирования простейших потоков: при объединении n независимых простейших потоков с параметрами , , …, образуется общий простейший поток с параметром + +…+ .

Асимптотическое свойство суммирования потоков: выражает общий смысл класса теорем о суммировании потоков и состоит в том, что объединение большого числа независимых стационарных ординарных потоков с практически любым последействием при малых значениях параметров этих потоков создает общий поток, близкий к простейшему.

Идеализированный физический смысл простейшего потока – объединение потоков от бесконечного числа источников, параметр каждого из которых стремится к нулю.

Необходимое и достаточное условие простейшести потока. Простейший поток с параметром  есть поток с независимыми промежутками между вызовами, распределенными по одинаковому показательному (отрицательному экспоненциальному) закону с параметром .

Свойство отсутствия последействия для показательного закона распределения (единственный закон, обладающий таким свойством) – если промежуток времени, распределенный по показательному закону, уже длился некоторое время, то это никак не влияет на закон распределения оставшейся части промежутка: он будет таким же, как и закон распределения всего промежутка.

Функция F(z) распределения вероятностей промежутков времени между вызовами простейшего потока с параметром :

, .

Плотность f(z) распределения вероятностей промежутков времени между вызовами простейшего потока с параметром :

, .

Математическое ожидание и среднеквадратическое отклонение промежутка времени между вызовами простейшего потока с параметром : обе величины равны 1/.

Нестационарный пуассоновский поток вызовов (иначе говоря, поток с переменным параметром или нестационарный простейший поток).

Нестационарный пуассоновский поток – это ординарный поток без последействия, для которого в любой момент времени t существует конечный параметр (t), зависящий от момента t. Если (t)= , то нестационарный пуассоновский поток вырождается в простейший.

Математическая модель нестационарного пуассоновского потока:

, k=0, 1, …,

где – вероятность поступления точно k вызовов за заданный промежуток времени .

Неординарный пуассоновский поток вызовов.

Неординарный пуассоновский поток – это стационарный неординарный поток без последействия.

Поток вызывающих моментов для неординарного пуассоновского потока: совпадает с потоком вызывающих моментов для простейшего потока.

Характеристика неординарности потока – это величина, равная количеству вызовов, поступающих в каждый вызывающий момент. Она может быть постоянной и переменной.

Неординарный пуассоновский поток с переменной характеристикой неординарности – это неординарный пуассоновский поток, в котором в каждый вызывающий момент с вероятностью поступает l вызовов .

Поток вызовов с простым последействием.

Поток вызовов с простым последействием – это ординарный поток, для которого в любой момент времени t существует конечный параметр потока в состоянии s(t), зависящий только от состояния s(t) СМО в момент t и не зависящий от процесса обслуживания вызовов до момента t. Такой поток является нестационарным.

Частные случаи потока с простым последействием.

• Симметричный поток.

• Примитивный поток.

• Поток с повторными вызовами.

Симметричный поток вызовов.

Симметричный поток – это поток с простым последействием, параметр которого в любой момент времени зависит только от числа обслуживаемых в этот момент вызовов и не зависит от других характеристик, определяющих состояние СМО. При этом зависимость параметра от числа обслуживаемых вызовов может быть подчинена любому закону.

Примитивный поток вызовов.

Примитивный поток – это такой симметричный поток, параметр которого прямо пропорционален числу свободных в данный момент источников:

,

где n – общее число источников вызовов;

i – число занятых источников;

 – параметр потока источника в свободном состоянии (при этом имеет место естественное предположение – занятый источник не может производить вызовы).

Математическое ожидание параметра примитивного потока:

,

где – вероятность того, что в СМО занято i источников.

Поток вызовов от свободного источника – простейший.

Асимптотическое свойство примитивного потока. С увеличением числа источников n и уменьшением параметра  последействие потока уменьшается. В предельном случае при и так, что n есть конечная величина и i принимает ограниченные значения, параметр потока =n не зависит от состояния СМО, т.е. модель примитивного потока переходит в модель простейшего потока вызовов.

Поток с повторными вызовами.

Поток с повторными вызовами – это такой поток, в котором все или часть источников необслуженных вызовов осуществляют повторные вызовы. Данный поток состоит из первичных и повторных вызовов. Поскольку параметр потока повторных вызовов зависит от состояния СМО, то и поток с повторными вызовами относится к классу потоков с простым последействием.

Математическая модель потока с повторными вызовами.

Параметр потока повторных вызовов можно определить как произведение числа источников повторных вызовов j на параметр одного источника . В качестве модели потока первичных вызовов принимается простейший с параметром  или примитивный с параметром поток. Параметр суммарного потока равен сумме параметров потоков первичных и повторных вызовов. Для простейшего и примитивного потоков он соответственно составляет

; .

Поток с ограниченным последействием.

Поток с ограниченным последействием – это поток вызовов, у которого последовательность промежутков времени между вызовами , , … представляет последовательность взаимно независимых случайных величин, имеющих любые функции распределения. Такой поток вызовов описывается последовательностью функций распределения промежутков между вызовами:

, k=1, 2, ….

Рекуррентный поток вызовов.

Рекуррентный поток – это частный случай потока с ограниченным последействием, который характеризуется одинаково распределенными промежутками времени между вызовами:

.

Такой поток является ординарным. Стационарный рекуррентный поток является простейшим.

Рекуррентный поток вызовов с запаздыванием.

Рекуррентный поток с запаздыванием – это поток с ограниченным последействием, для которого

, .

Такой поток может быть и неординарным.

Поток Пальма.

Поток Пальма – это стационарный ординарный рекуррентный поток с запаздыванием. Распределение промежутков времени между вызовами для потока Пальма задается следующими соотношениями:

;

, k=2, 3, …,

где – вероятность отсутствия вызовов на промежутке времени длиной z.

Теорема Пальма: если на СМО с потерями и с показательным распределением длительности обслуживания поступают вызовы, образующие поток Пальма, то поток необслуженных вызовов является также потоком Пальма.

Рекуррентное просеивание потока.

Рекуррентная операция просеивания – такая операция над потоком, при которой каждый очередной вызов с заданной вероятностью  остается в новом потоке (просеивается) и с вероятностью (1-) теряется.

Рекуррентное просеивание рекуррентного потока. Поток, получаемый из рекуррентного потока с помощью рекуррентной операции просеивания, также является рекуррентным.

Рекуррентное просеивание простейшего потока. Если основной поток – простейший с параметром  и подвергается рекуррентной операции просеивания с вероятностью , то просеянный поток будет также простейшим с параметром .

Поток Эрланга.

Поток Эрланга m-го порядка – это поток вызовов, который получается из простейшего потока в результате следующей операции просеивания: точно m вызовов потока теряются, (m+1)-й вызов просеивается, затем снова точно m вызовов теряются и (m+1)-й просеивается и т.д.

Потоки Эрланга являются рекуррентными.

Математическое ожидание , дисперсия промежутка времени между вызовами в потоке Эрланга m-го порядка и параметр этого потока :

; ; .

С увеличением порядка потока Эрланга увеличиваются математическое ожидание и дисперсия промежутка времени между вызовами и одновременно уменьшается параметр потока. Потоки Эрланга m-го порядка при разных m создают потоки с различной степенью случайности: от простейшего (m=0) до детерминированного .

Поток освобождений.

Поток освобождений – это последовательность моментов окончания обслуживания вызовов СМО.