40

Типовые математические схемы моделей

При составлении формального описания модели исследователь использует тот или иной язык формализации.

Виды формализации объекта моделирования.

• Аппроксимация явлений функциональными зависимостями.

• Алгоритмическое описание процессов в системе.

• Смешанное представление в виде последовательности формул и алгоритмических записей.

Язык формализации основывается на математической схеме модели.

Виды типовых математических схем модели.

• Непрерывно-детерминированные модели (D-схемы).

Типичные представители: модели, описываемые системами обыкновенных дифференциальных уравнений, интегральных уравнений, интегро-дифференциальных уравнений или уравнений в частных производных.

Краткая характеристика. В качестве независимой переменной, от которой зависят неизвестные искомые функции, обычно служит время. Тогда вектор-функция искомых переменных будет непрерывной.

Происхождение названия. Математические схемы такого вида отражают динамику изучаемой системы и поэтому называются D-схемами (англ. dynamic).

• Дискретно-детерминированные модели (F-схемы).

Типичные представители: конечные автоматы.

Краткая характеристика. Автомат можно представить как некоторое устройство, на которое подаются входные сигналы и снимаются выходные и которое может иметь некоторые внутренние состояния. У конечного автомата множество входных сигналов и внутренних состояний является конечным множеством.

Происхождение названия: англ. finite automata.

• Дискретно-стохастические модели (P-схемы).

Типичные представители: вероятностные (стохастические) автоматы.

Краткая характеристика. Вероятностный автомат в общем виде можно определить как дискретный потактный преобразователь информации с памятью, функционирование которого в каждом такте зависит только от состояния памяти в нем и может быть описано стохастически.

Происхождение названия: англ. probabilistic automat.

• Непрерывно-стохастические модели (Q-схемы).

Типичные представители: системы массового обслуживания (СМО).

Краткая характеристика. В качестве процесса обслуживания в СМО могут быть представлены различные по физической природе процессы функционирования экономических, производственных, технических и других систем, например потоки товаров, потоки продукции, потоки деталей, потоки клиентов и т.п.

Происхождение названия: англ. queuing system.

Понятие системы массового обслуживания (смо)

Примеры возникновения очередей в системах массового обслуживания.

Ситуация	Ожидающие в очереди	Процесс обслуживания
Супермаркет	Покупатели	Прием кассиром оплаты за покупки
Приемная врача	Пациенты	Прием доктором и медсестрой
Компьютер	Компьютерные программы	Выполнение программ процессором
Телефонная компания	Абоненты	Выполнение заказов на междугородние переговоры

Сферы использования моделей очередей в экономике: как в сфере управления материальным производством, так и в сфере обслуживания. Анализ очередей в терминах длины очереди, среднего времени ожидания, среднего времени обслуживания и других факторов помогает лучше понять принципы организации системы обслуживания.

Основной экономический принцип совершенствования СМО состоит в оценке общих ожидаемых затрат, включающих затраты на обслуживание (издержки функционирования) и потери, которые несет система в результате ожидания клиента (издержки ожидания).

Теория массового обслуживания – раздел прикладной математики, предметом изучения которого является количественная сторона процессов массового обслуживания.

Названа советским математиком А.Я. Хинчиным (1894-1959).

Родилась в первой четверти ХХ века вследствие возникновения потребностей разработки математических методов для оценки качества функционирования телефонных систем.

«Выросла» из теории телетрафика (одна из ветвей теории массового обслуживания), предметом изучения которой является количественная сторона процессов обслуживания потоков сообщений в системах распределения информации.

Отличительные свойства СМО.

• Наличие объектов, у которых может возникнуть потребность в удовлетворении некоторых заявок (требований, вызовов).

• Наличие агрегатов (приборов, каналов), предназначенных для удовлетворения заявок на обслуживание.

• Специальная организация приема в систему заявок и их обслуживание.

Структура СМО определяется составом и функциональными связями.

Состав СМО:

• входящий поток требований;

• совокупность приборов (каналов) обслуживания;

• очередь требований, ожидающих обслуживания;

• выходящий поток требований.

Общая схема СМО, состоящей из одной группы приборов, показана на рис. 2. Эта схема может быть усложнена, если СМО состоит из ряда последовательных приборов или ряда последовательно и параллельно связанных приборов или имеет еще более сложную сетевую структуру. Возможны системы, в которых отсутствует такой элемент, как очередь (СМО с отказами).

Требование можно рассматривать как запрос на удовлетворение какой-то потребности, а можно отождествлять с его носителем. Совокупность заявок (требований) рассматривают как поток событий, т.е. последовательность событий, происходящих в случайные моменты времени. Время обслуживания заявки также считается случайной величиной. Из-за совместного действия этих двух случайных факторов количество обслуженных заявок в заданном интервале времени является величиной случайной.

Качество работы СМО – это не то, как хорошо выполнено само обслуживание конкретным прибором, а как хорошо организовано обслуживание, насколько полно загружены обслуживающие приборы, не создается ли большая очередь или не велик ли уход из системы необслуженных требований.

Основная задача массового обслуживания – определение количественных показателей функционирования СМО и их зависимости от параметров входящего потока и структуры собственно СМО (ее состава и функциональных связей). Решение этой задачи дает возможность найти в СМО слабые звенья, определить их влияние на эффективность обслуживания и найти пути их улучшения или при заданных характеристиках потока требований и критерии качества обслуживания дать предложения о структуре СМО, которая обеспечит выполнение поставленной перед ней задачи.