32.Правила выч. Произв.

Если функции f : X - R, g : X - R дифференцируемы в точке x 2 X, то

а) их сумма дифференцируема в x, причем

б) их произведение дифференцируемо в x, причем

в) их отношение дифференцируемо в x, если g(x) = 0 6 , причем

Доказательство. Обозначим 4x = h. Тогда

И еще:

33. Дифференцирование комп. Ф-ий

Если функция f : X - Y ½ R дифф. в точке x, а функция g : Y- R дифф. в

точке y = f(x) 2 Y , то композиция g ± f : X ! R этих функций дифф-ма в точке x, причем

Доказательство. Условия дифф. функций f и g имеют вид

Заметим, что в силу последнего равенства функцию o(t) можно считать определенной и при t = 0, а в предст.

o(t) = °(t) ¢ t, где °(t) ! 0 при t ! 0, y + t 2 Y , можно считать °(0) = 0. Полагая f(x) = y, f(x + h) = y + t в силу дифф.и, а значит, и непрерывности функции f в точке x заключаем, что при h ! 0 также t ! 0, и если x + h 2 X, то y + t 2 Y . По теореме о пределе композиции теперь имеем

34. Производная обратной функции

(О производной обратной функции). Пусть функции f : X -Y , f-1: Y - X заимно обратны и непрерывны в точках x0 2 X и f(x0) = y0 2 Y соответственно. Если функция f(x) дифференцируема в точке x0 и f0(x0) = 0 6 , то функция f

¡1 также дифференцируема в точке y0, причем

Доказательство. Из непрерывности f(x) в x0 и f¡1в y0 можно заключить, что при x ! x0, x 2 X имеем y = f(x) ! y0,

y = f(x) 2 Y и y = f(x) =6 y0, если x =6 x0. Используя теперь теорему о пределе композиции функций и арифм.

свойства предела, находим

Таким образом, показано, что в точке y0 функция f¡1: Y ! X имеет произв. и

35. Производные элементарных функций

а). Производная и дифференциал логарифмической функции.

Пусть y = loga x, где a > 0, a = 1 6 . Тогда

б). Производная и дифференциал степенной функции.

в). Производная и дифференциал показательной функции.

г). Производная и дифференциал тригонометрических функций

д). Производная и дифференциал обратных тригонометрических функций

е). Производные и дифференциалы гиперболических функций

36. Производные и дифференциалы высших порядков. Ф-ла Лейбница

Для n-ой производной функции f(x) применяются и другие обозначения:

Функция f(x) называется n раз дифференцируемой в точке x 2 X, если в этой точке у нее существуют все производные до n-го порядка включительно.Если f(x) дифференцируема n раз в каждой точке является непрерывной функцией на X, тоf(x) называется n раз непрерывно дифференцируемой функцией или функцией класса C(n)[X]. Множество непрерывных функций, определенных на X, обозначается C[X]. Функция, имеющая производную любого порядка, называется бесконечно дифф.

Пусть зависимость y от x задана через параметр t: x = '(t), y = Ã(t), t 2 T. Для нахождения второй производной па-

раметрически заданной функции воспользуемся формулой первой производной. Тогда получаем новую параметрически заданную функцию Следовательно вторая производная Аналогично, если известно выражение для y(n¡1)xn¡1 , то

Покажем, что если f и g принадлежат классу C(n)[X], то

Формулу (3.9) докажем методом математической индукции.

Пусть n = 1. В этом случае (f ¢ g)

0 = f0¢ g + f ¢ g0

, то есть формула (3.9) справедлива.

Пусть она справедлива для n = k.

Тогда для k = n + 1 имеем