28. Непрерывн элементар функций

1.Функция f(x) = C, где C = const, ∀x ∈ X непрерывна в любой точке x0, поскольку limf(x) = limC = C = f(x0).

2.Рациональной называется функция вида f(x) =Pn(x)\Qm(x)=

(a0xn + a1xn−1 + . . . + an−1x + an)\

(b0xm + b1xm−1 + . . . + bm−1x +bm)

где Pn(x), Qm(x) – многочлены степеней n и m соответственно.

Рациональная функция во всех точках, в которых Qm(x) не обращается в нуль, непрерывна как отношение двух

непрерывных функций.

3. Докажем непрерывность функции f(x) = sin x в любой точке x ∈ R. Имеем

Так как

Отсюда следует, что если |△x| < δ = ε, то и | sin x| < ε, т.е. sin x непрерывная функция в любой точке x э R

29. Дифф. И производная

Дифференци́руемая (в точке) фу́нкция — это функция, у которой существует дифференциал(в данной точке). Дифференцируемая на некотором множестве функция — это функция, дифференцируемая в каждой точке данного множества. Дифференцируемость является одним из фундаментальных понятий в математике и имеет значительное число приложений как в самой математике, так и в других естественных науках. Приращение дифференцируемой в данной точке функции можно представить как линейную функцию приращения аргумента с точностью до величин более высокого порядка малости. Это означает, что для достаточно малых окрестностей данной точки функцию можно заменить линейной (скорость изменения функции можно считать неизменной). Линейная часть приращения функции называется ее дифференциалом (в данной точке).

30. Непрерывность функции, имеющей производную.

Если функция y = f(x) дифференцируема в некоторой точке x = x0, то она в этой точке непрерывна.

Таким образом, в точках разрыва функция не может иметь производной. Обратное заключение неверно, т.е. из того, что в какой-нибудь точке x = x0 функция y = f(x) непрерывна не следует, что она в этой точке дифференцируема. Например, функция y = |x| непрерывна для всех x (–Ґ < х < Ґ), но в точке x = 0 не имеет производной. В этой точке не существует касательной к графику. Есть правая касательная и левая, но они не совпадают.

31.Мех. И физ. Смысл произв.

Касательной к кривой L в точке M0 называется прямая M0T, которая представляет собой предельное

положение секущей M0M при стремлении по кривой точки M к точке M0.

Если предельного положения секущей не существует, то говорят, что в точке M0 провести касательную нельзя. Это

бывает в случае, когда точка M0 является точкой излома или заострения кривой.

Пусть кривая L является графиком функции f(x) и точка M0(x0; f(x0)) 2 L. Предположим, что касательная к

кривой в точке M0 существует. Угловой коэффициент секущей M0M k = tg ' =4f(x0)\4x. Если 4x ! 0, то точка M движется по кривой к точке M0 и секущая M0M стремится к своему предельному положению M0T. Таким образом

т.е. если кривая L является графиком функции f(x), то из равенства (1.2) следует геометрический смысл производной:

производная от функции f(x) при x = x0 равна угловому коэффициенту касательной к графику функции в точке с абсциссой x0. Тогда уравнение касательной

Заметим, что в правой части уравнения (1.3) стоит дифференциал, поэтому геометрический смысл дифференциала состоит в следующем: дифференциал - это приращение ординаты касательной. Рассмотрим функцию y = f(x), определенную и непрерывную в некоторой окрестности точки x0. Если аргумент x0 функции получает приращение 4x (положительное или отрицательное), такое, что x0+4x принадлежит той же окрестности точки x0, то соответствующее приращение функции