26.Непрер.Обр.Ф-ии на отрезке.

Пусть функция f(x) определена, строго возрастает (убывает) и непрерывна на отрезке [a; b]; тогда

обратная функция f−1 определена, однозначна, строго возрастает (убывает) и непрерывна на отрезке с концами в точках f(a), f(b).

Доказательство: Пусть f(x) строго возрастающая функция и c = f(a), d = f(b). Покажем, что областью опред. обратной функции f−1 является отрезок [c; d]. В самом деле, из возрастания функции f(x) следует, что

f(a) 6 f(x) 6 f(b). С другой стороны, каково бы ни было y э [c; d], согласно теореме 5, существует такая точка x ∈ [a; b], что f(x) = y. Таким образом, все значения заданной функции f(x) лежат на отрезке [c; d], и каждая точка этого отрезка является значением функции f(x) в некоторой точке. Это и означает, что отрезок [c; d] является множ. значений функции f(x). В силу леммы 1, функция f−1 однозначна и строго возрастает на отрезке [c; d]. Покажем, что функция f−1 непрерывна на [c; d]. Пусть y0 э [c; d], x0 = f−1(y0), и c < y0 < d, т.е. y0 – внутренняя точка отрезка [c; d]. Тогда, в силу строгого возр. функции f−1, и a < x0 < b. Зафиксируем некоторое ε > 0. Не ограничивая общности рассуждений, можно считать, что ε таково, что

a <= x0 − ε < x0 < x0 + ε <= b. (2.8)

Пусть y1 = f(x0 − ε), y2 = f(x0 + ε). Тогда из условия (2.8), в силу строгого возрастания функции f(x), следует,

что c 6 y1 < y0 < y2 6 d. Возьмем δ > 0 так, чтобы y1 6 y0 − δ < y0 + δ 6 y2. Если теперь выбрать y так, что

y0 − δ < y < y0 + δ, то, тем более y1 < y < y2, и следовательно, в силу строгого возрастания функции f−1, cправ. нер.

x0 − ε = f Таким образом, для ε > 0 указано такое δ > 0, что для всех y ∈ (y0 − δ; y0 + δ) выполняется неравенство1(y0)| < ε, т.е. функция f−1 непрерывна в точке y0. Если теперь y0 = c или y0 = d, то аналогичными расс. доказывается, что функция f−1 непрерывна справа в точке c и непрерывна слева в точке d.

27. Непрер.Обр.Ф-ии на интервале

Пусть функция f(x) определена, строго возрастает (убывает) и непрерывна на интервале (a; b) (конечном или бесконечном) и пусть c = limf(x), d = limf(x). Тогда обратная функция f−1 определена, однозначна, строговозрастает (убывает) и непрерывна на интервале (конечном или бесконечном) с концами c и d.

Доказательство. Пусть для опр. функция f(x) строго возрастает в интервале (a; b). Покажем, что в этом

случае множеством ее значений явл. интервал (c; d). Действительно, согласно теореме о пределах монотонных функций, имеем c = inf f(x), d = sup f(x) и, следовательно, для любого x ‘ (a; b) справедливо неравенство c 6 f(x) 6 d. Более того, для всех x ‘ (a; b) выполняются еще неравенства f(x) ̸= c, f(x) ̸= d. В самом деле, если бы, например, сущ. такое x0, что a < x0 < b и f(x0) = c, то при a < x < x0 выполнялось бы неравенство f(x) < f(x0) = c, что противоречило бы тому, что c = inf f(x). Итак, для всех x ∈ (a; b) выполняются неравенства c < f(x) < d. С другой стороны, c = inf f(x), d = sup f(x), поэтому для любого y, c < y < d, существуют такие x1 э (a; b) и x2 э (a; b), что y1 = f(x1) и y2 = f(x2) удовл. неравенствам c < y1 < y < y2 < d. Отсюда следует, что x1 < x2, и поскольку f(x1) = y1 и f(x2) = y2, по теореме Больцано-Коши о промеж. значениях непрерывных функций, существует такая точка x э [x1; x2], что f(x) = y (случай x1 > x2 невозможен, так как тогда в силу возрастания функции f(x) выполнялось бы неравенство y1 > y2). Таким образом, для любой точки y ∈ (c; d) существует такая точка x ∈ (a; b), что f(x) = y.