18. 1 Замечательный предел
Докажем,
что
Так
как
является
четной функцией, то рассмотрим ее только
на интервале (0;
π\2
).
Возьмем дугу AM
единичного
круга, соответствующую углу, радианная
мера которого равна x.
Площадь сектора OAM
заключена
между площадями треугольников OMA
и OTA:
так как |OA|=1,
|MP|=sin(x),
|AT|=tg(x),
то
В силу четности функции cos x и (sin x)\x последнее двойное неравенство справедливо и для интервала (-π\2 ; 0). Таким образом, для любого x выполняется неравенство cos x < (sin x)\x < 1. Переходя к пределу при
x → 0 получим
т.е
(1)
- 1 зам. Предел
19. 2 Замечательный предел
Пусть n=|x|. Тогда n<x<n+1 и
(1+1\(n+1))^n<(1+1\n)^(n+1)
Переходя к пределу, получим
lim(1+1\x)^x=e
Рассмотрим
предел
=
….
=
где
x=-t,
t-1=u
В итоге (1) – 2й зам. пред.
20.Беск. Мал и бол. Сравн.
Функция f(x) называется бесконечно малой функцией (или бесконечно малой) при x → x0 если limf(x) = 0.
Функция f(x) называется бесконечно большой функцией (или бесконечно большой) при x → x0 если limf(x) = ∞.
Бесконечно малые функции принято обозначать строчными буквами греческого алфавита α, β, γ
Если функция f(x) при x → x0 – бесконечно большая, то функция
1\f(x) при x → x0 – бесконечно малая.
Если функция f(x) при x → x0 – бесконечно малая, то функция 1\f(x) при x → x0 – бесконечно большая.
1.Если
α(x),
β(x)
– бесконечно
малые функции и
,
То они наз. бескон. мал. 1 пор.
Малости
2.
Если α(x),
β(x)
– бесконечно
большие функции и
,
то они наз. бескон. больш. 1 пор. роста
3.
Если функции α(x),
β(x)
– бесконечно
малые и
,
то они эквивал.
4.
Если функции α(x),
β(x)
- бесконечно
малые и
то
α(x)
называется
функцией k-го
порядка малости по сравнению с β(x).
5.
Если α(x),
β(x)
- бесконечно
большие функции при x
→ x0
и
то
α(x)
– функция k-го
порядка роста по сравн с β(x).
Предел
отношения двух бесконечно малых функций
равен пределу отношения эквивалентных
им функций
Доказательство Учитывая, что limα(x)\α1(x) = 1, limβ(x)\β1(x) =1 то имеем
Число y0 является пределом функции f(x) в точке x0 тогда и только тогда, когда имеет место равенство f(x) = y0 + α(x), где α(x) бесконечно малая функция при x → x0.
21. Непр. В т. Ариф. Опер.
Функция f(x) называется непрерывной в точке x0, если для любого заданного числа ε > 0 можно найти такое число δ = δ(ε, x0) > 0, что для всех x, для которых |x − x0| < δ, будет выполняться неравенство
|f(x) − f(x0)| < ε, или:
Функция f(x) называется непрерывной в точке x0 если для любой числовой последовательности {xn} такой, что lim
xn = x0 будет limf(xn) = f(x0).
Так как x − x0 = △x – приращение аргумента, а f(x) − f(x0) = y – приращение функции в точке x0, то:
Функция f(x) называется непрерывной в точке x0, если бесконечно малому приращению аргумента x соответствует бесконечно малое приращение функции △y, т.е. limy = 0.
В некоторых случаях приходится пользоваться понятием односторонней непрерывности.
Функция f(x), определенная в некоторой левой (правой) окрестности точки x0 называется непрерывной слева (справа) в точке x0, если существует предел слева (справа) функции y = f(x) и он равен f(x0).Другими словами:
f(x) непрерывна справа в точке x0 ⇒ ∃ limf(x) = f(x0);
f(x) непрерывна слева в точке x0 ⇒ ∃ limf(x) = f(x0).
Из определения односторонней непрерывности в точке x0 и свойств предела функции следует:
Функция f(x), определенная в некоторой δ-окрестности точки x0, непрерывна в точке x0 тогда и только
тогда, когда она непрерывна в этой точке слева и справа.