3.4. Распределение амплитуд флуктуации определяющих параметров

Важнейшей вероятностной характеристикой определяющего параметра ЯЭУ является закон распределения его случайных отклонений от среднего значения. От вида этого закона зависит вероятность выхода параметра за ПДУ. Поэтому одним из главных этапов оценки параметрической надежности ЯЭУ является подбор наиболее адекватной теоретической модели для флуктуационной части в параметрах ЯЭУ. Для этого необходимо учесть механизмы формирования, как средних значений параметров, так и флуктуационной части. При этом, в последнем случае требуется разделить влияние целенаправленных действий систем управления по поддержанию параметров на требуемом уровне и влияние случайных факторов (случайных внешних воздействий, погрешностей систем контроля и регулирования) на вероятностные свойства флуктуационной части. Скрупулезный и точный учет всех факторов, возможно, и привел бы к модели, которая могла бы описать флуктуационную часть и дать теоретический закон распределения. Однако такая модель, во-первых, оказалась бы необозримо громоздкой, во-вторых, она требовала бы специального анализа близости получаемых законов распределения к типовым и, наконец, в-третьих, она не обладала бы достаточной универсальностью для единообразного описания всех возможных эксплуатационных ситуаций и способов контроля и регулирования параметров ЯЭУ. Подбор теоретического распределения флуктуации определяющих параметров ЯЭУ не является самоцелью, оно используется в алгоритмах диагностирования, оценок эксплуатационной надежности и других. Поэтому желательно чтобы теоретическое распределение, с одной стороны, было наиболее простым (типовым), а с другой – учитывало наиболее характерные эксплуатационные особенности ЯЭУ.

Этим требованиям можно удовлетворить, используя феноменологические модели, которые давали бы обоснованные рецепты применения тех или иных типовых законов распределения с учетом наиболее важных особенностей формирования флуктуационной части в параметрах ЯЭУ. Далее дано описание двух таких моделей.

3.4.1. Первая модель

Случайные отклонения определяющих параметров ЯЭУ от заданных номинальных значений могут вызываться случайными изменениями условий эксплуатации. Амплитуды этих отклонений зависят не только от величины входных возмущений, но и от способов и погрешностей контроля и регулирования определяющих параметров. Эти способы можно условно разделить на два типа:

1) непрерывный контроль и регулирование текущих значений определяющих параметров при заданных их номинальных значениях;

2) периодический контроль и регулировка номинальных значений определяющих параметров ЯЭУ при корректировке или изменении (например, после очередной перегрузки) номинальных режимов эксплуатации.

Возможны два способа непрерывного регулирования определяющих параметров ЯЭУ: 1) саморегулирование, 2) регулирование внешними органами по показаниям контролирующих приборов. Могут встречаться случаи, когда непрерывный контроль и регулирование некоторых определяющих параметров не производится.

Пусть номинальное значение x_н определяющего параметра x(t) устанавливается с погрешностью  , которая является погрешностью его периодического контроля и регулировки. Это номинальное значение должно быть средним значением параметра x(t), поддерживаемым имеющейся системой непрерывного контроля и регулирования. Однако фактическое среднее значение параметра x(t) есть

.

В процессе эксплуатации РУ параметр x(t) может испытывать случайные отклонения от . Таким образом, параметр x(t) в общем случае является случайным процессом с условным относительно  математическим ожиданием . Ясно, что x(0) = = х₀. Способы непрерывного контроля и регулирования параметра x(t) определяют вид закона распределения его отклонений от .

Пусть этот закон задан условной функцией распределения . Если известна плотность распределения погрешности , то функция распределения параметра x(t) при любых возможных  определяется по общей формуле

.

Обычно предполагается, что закон распределения погрешности  близок к гауссовскому , где – стандартное отклонение погрешности . Однако могут быть и заметные отличия принципиального характера этого закона от гауссовского.

В зависимости от способов непрерывного контроля и регулирования параметра x(t) можно получить различные частные случаи и приближения для . Наибольшие амплитуды, как правило, имеют низкочастотные флуктуации определяющих параметров ЯЭУ. Поэтому именно эти флуктуации оказывают наибольшее влияние на надежностные и безопасностные качества ЯЭУ. Обычно связь входных случайных возмущений, действующих на ЯЭУ, с ее выходными параметрами описывается передаточной функцией или системой стохастических дифференциальных уравнений. В низкочастотном случае формальное описание связи входных случайных возмущений с определяющими параметрами ЯЭУ существенно упрощается, так как при этом коэффициент передачи ЯЭУ не зависит от времени и можно воспользоваться следующим формализмом.

Пусть флуктуации параметра x(t) около являются откликом ЯЭУ на флуктуации некоторого входного параметра (t). Тогда в низкочастотном случае, т.е. без учета динамики переходных процессов в системе, связь случайных процессов x(t) и (t) можно выразить следующей формулой:

, (3.10)

где x_i – приращение процесса x(t) на интервале между i-м и i + 1-м моментами времени, – коэффициент передачи между входным возмущением  и выходным параметром х, зависящий от текущего значения параметра х. Здесь зависимость коэффициента передачи g от как от параметра обусловлена тем, что регулирование ЯЭУ проводится в целях поддержания значений процесса x(t) в некоторых допустимых пределах около и при различных значениях этот коэффициент может быть разным по величине. Вид функции зависит от физических особенностей процессов x(t) и (t), а также от способов непрерывного контроля и регулирования определяющего параметра ЯЭУ.

Если , то каковы бы ни были флуктуации процесса (t), процесс x(t) сохраняет постоянное значение, т.е. в этом случае параметр х остается случайной величиной, причем х = .

При и когда среди случайных факторов нет доминирующих, можно из формулы (3.10) получить

и считать, что функция случайного процесса x(t) вида

L(x)=A , (3.11)

где А и B – произвольные постоянные, является случайным гауссовским процессом с распределением , где , – условные, относительно  , математическое ожидание и дисперсия случайного процесса .

Пусть функцией L(x), определенной на множестве _x возможных значений х и принимающей значения из множества _L, задано взаимно однозначное преобразование некоторой системы М множеств Q_x  _x в систему N множеств Q_L  _L. Тогда

.

Пусть, например, L(x) – неубывающая функция х. Тогда

( ), (3.12)

где Ф(x) – интеграл ошибок.

Если регулирование параметра х не производится, то g = const, т.е. возмущение параметра (t) передается параметру x(t) без учета состояния ЯЭУ. Как видно из формул (3.11), (3.12), при отсутствии регулирования параметра x(t) отклонения x(t) от должны иметь гауссовское распределение, т.е.

,

где – стандартное отклонение флуктуации х(t) около .

Для регулируемого параметра х(t) коэффициент передачи не является постоянным, т.к. в данном случае отклонение х(t) от в любую сторону влияет на величину управляющего воздействия на параметр со стороны системы регулирования. Исследование стохастических свойств регулируемого параметра x(t), а также влияния на погрешностей непрерывного контроля и регулирования требует знания зависимости от вероятностных характеристик этих погрешностей. При произвольной функции (вид которой, как правило, неизвестен) такое исследование было бы невозможно, если бы не то обстоятельство, что как отклонения параметра x(t) от х, так и погрешности его непрерывного контроля и регулирования обычно малы. В такой ситуации функцию можно представить в виде разложения в ряд Тейлора по отклонениям х- с сохранением только первых двух членов ряда:

. (3.13)

Положим

, .

Тогда при соответствующем выборе А и В, используя равенство x = x₀, из формул (3.11) и (3.13) можно получить

, (3.14)

где

, . (3.15)

Связь коэффициентов k и  записывается в виде

к =  . (3.16)

Поэтому

L(x)=ln{[1

где

– центрированный нормированный случайный процесс.

Из формулы (3.13) видно, что при х = и g₀  0 функция не обращается в нуль. Такая ситуация возможна при наличии погрешностей непрерывного контроля и регулирования параметра x(t), когда в каждый момент времени система регулирования с ошибкой реагирует на рассогласование с величиной . Коэффициент g₀ характеризует эти погрешности, т.е. , где – стандартное отклонение погрешностей непрерывного контроля и регулирования параметра x(t). Зависимость такова, что f(0) = 0 и f( ) не убывает с ростом . Воспользовавшись разложением в ряд Тейлора функции f( ) при малом , получим

g₀  k .

В зависимости от знака коэффициента k в формуле (3.16) функция L(x) вида (3.14) является неубывающей или невозрастающей от х. Это значит

(3.17)

Таким образом, при наличии погрешностей непрерывного контроля и регулирования параметра х и при малых его отклонениях от эти отклонения имеют логарифмически-нормальный (лог-нормальный) закон распределения. Как следует из формул (3.15) и (3.17), при известных (оцененных) и единственным неопределенным параметром этого распределения остается  или .

По своему смыслу лог-нормальный закон распределения является усеченным с параметром усечения

Усеченность условного относительно закона распределения регулируемого определяющего параметра может иметь физическое объяснение, так как регулирование ЯЭУ всегда проводится с целью исключить возможные отклонения определяющих параметров за ПДУ (запрещенные уровни). Эти уровни в зависимости от цели регулирования (обеспечение надежности или экономичности эксплуатации ЯЭУ) и физического смысла параметра могут лежать как выше, так и ниже среднего значения . Например, для обеспечения надежности работы реактора его мощность регулируется так, чтобы она не превышала безопасный уровень. В то же время, для обеспечения надежного охлаждения реактора при заданной мощности расход через него регулируется так, чтобы он не был ниже безопасного уровня. С другой стороны, для обеспечения максимального к.п.д. паросилового цикла (экономичности) температура теплоносителя на выходе из реактора регулируется так, чтобы она не была ниже определенного уровня и т.д. Таким образом, усеченность (несимметричность относительно среднего) закона распределения регулируемого параметра является следствием того, что на фоне случайных внешних воздействий на этот параметр действуют факторы целенаправленного воздействия (ФЦВ) со стороны систем регулирования. Чем более доминирующий характер имеют эти факторы, тем более несимметричным (скошенным) является распределение х около . И наоборот, если факторы целенаправленного воздействия теряются на фоне случайных, то закон распределения параметра становится симметричным относительно среднего (в пределе, гауссовским).

Это можно увидеть из анализа предельных случаев, когда и . Из формул (3.14), (3.16), (3.17) следует: при ( ), ввиду конечности дисперсии  процесса (t), и плотность распределения отклонений x(t) от стремится к -функции. Следовательно, при очень точном регулировании внешним регулятором или при саморегулировании определяющего параметра x(t) его низкочастотные флуктуации около должны отсутствовать. Следует заметить, что этот случай совпадает с описанным ранее, когда , т.е. когда нет влияния входного возмущения (t) на параметр x(t). Таким образом, при в низкочастотной области определяющий параметр можно считать случайной величиной, совпадающей с .

При ( ),

т.е. при достаточно больших погрешностях непрерывного контроля и регулирования параметра x(t) его условный относительно закон распределения близок к гауссовскому. Физическое объяснение этого факта состоит в том, что при больших погрешностях непрерывного контроля и регулирования параметра x(t) фактор целенаправленного воздействия на их фоне теряется, и вероятностное поведение этого параметра не отличается от поведения нерегулируемого параметра.

Следует заметить, что под координатой t в приведенной модели не обязательно понимать время. Это может быть пространственная координата или даже вектор. При достаточной фантазии подобной интерпретации поддаются распределения и таких параметров ЯЭУ.