3.3.1. Приближение нулевой скорости роста дефекта при нормальном режиме и мгновенного скачка при выходе определяющего параметра за допустимые пределы

Общая модель. В самом простейшем случае естественно предположить, что

1) в нормальном режиме работы дефект в элементе не увеличивается;

2) при попадании определяющего параметра в недопустимую область происходит мгновенный скачок дефекта на случайную величину z с плотностью распределения р(z).

Эти предположения естественны потому, что нормальные режимы эксплуатации должны выбираться так, чтобы накопление дефектов происходило очень медленно или не происходило совсем и чтобы выбросы определяющих параметров за ПДУ были очень редкими и кратковременными.

Пусть мгновенные приращения дефекта независимы между собой. Это предположение также естественно, т.к., если бы это было не так, то разрушение конструкционного элемента после нескольких выбросов было бы лавинообразным.

В приведенных условиях найдем вероятность P(t) того, что за время t фактическая величина дефекта z_a(t) не достигнет предельного значения z , т.е. вероятность того, что отказ из-за чрезмерно накопленного дефекта за время t не наступит.

За m выбросов определяющего параметра за ПДУ в течение времени t величина дефекта получит приращение

z_a(tm) = ,

где z_a – случайное приращение дефекта при i-м выбросе. Тогда

P(t) =

где

P{z_a(tm)  z } = , (3.9)

p_m(z) – m-кратная свертка плотности распределения р(z),

P_t(j =m)= F_m(t) – F_m+1(t)

– вероятность того, что за время t произойдет ровно m выбросов определяющего параметра за ПДУ, F_m(t) – функция распределения времени до m-го выброса.

Пуассоновский поток выбросов. Пусть выбросы определяющего параметра за ПДУ настолько редки, что их число описывается распределением Пуассона, т.е.

,

где v – интенсивность выбросов. Тогда

.

Если перейти к преобразованию Лапласа по переменной , то можно получить компактное выражение для Лаплас-образа вероятности :

,

где s – переменная преобразования Лапласа. Полученное выражение является наиболее общим в рамках пуассоновской модели для выбросов, из которого можно получить конкретные вероятности, выбрав подходящее распределение величины скачка дефекта, подставив его Лаплас-образ в последнее выражение и сделав обратное преобразование. Однако есть важный для приложений и одновременно простой случай, когда этой сложной процедуры не требуется.

Экспоненциально распределенные скачки дефекта.

Решая вопрос о распределении скачка дефекта при выбросе параметров за ПДУ, можно, например, рассуждать следующим образом. Поскольку дефекты в конструкции ЯЭУ являются нежелательными, то с ними ведется борьба с помощью соответствующих физико-технических, проектных, технологических, организационных и других мер. Идеальной целью этой борьбы является получение таких состояния и режимов эксплуатации оборудования ЯЭУ, чтобы все такие скачки дефектов были равны нулю. Этот идеал, конечно же, недостижим. Но принимаются все меры для того, чтобы наибольшие приращения были наименее вероятны. Отсюда возникает аналогия с прицеливанием в мишень, центр которой расположен в начале координат, и расстояние от точки попадания до центра мишени распределено экспоненциально. Таким образом, по-видимому, наиболее подходящей плотностью распределения для скачков дефектов при выбросах параметров за ПДУ является такая

.

Тогда свертка есть специальное распределение Эрланга m-го порядка, т.е.

и после несложных преобразований из (3.9) можно получить

.

Тогда

.

Таким образом, при экспоненциальном распределении скачков дефектов и редких выбросах определяющих параметров за ПДУ параметрическая надежность ЯЭУ может быть вычислена аналитически.