(Геометрические вероятности)

Классическое определение вероятности как отношение числа благоприятствующих исходов к числу всевозможных исходов нельзя применить к опыту с бесконечным числом равновероятных исходов. К описанию такой ситуации приспособлено геометрическое определение вероятности.

Пусть  является квадрируемой (т.е. площадь которой может быть вычислена) областью плоскости. Рассмотрим систему F квадрируемых подмножеств  (т.е. систему областей плоскости, входящих в , и площадь которых также может быть вычислена). Для любого А  F положим

. (2.10)

Это есть определение геометрической вероятности. Все рисунки, иллюстрирующие здесь действия над событиями, могут интерпретироваться на языке геометрической вероятности. Заметим, что определение вероятности в виде (2.10) удовлетворяет всем свойствам вероятности.

В схеме геометрических вероятностей выбор модели, подходящей для описания реального явления, более затруднителен по сравнению с классической схемой. Если выбрать разные модели реального опыта, то для одного и того же события в разных моделях можно получить разные вероятности. На выборе разных моделей основан известный парадокс Бертрана Рассела: живет в деревне брадобрей, который бреет всех, кто не бреется сам. Вопрос: кто бреет брадобрея? Парадокс в том, что с какого бы ответа мы не начали (сам себя бреет – не сам себя бреет) мы вынужденно приходим к противоположному ответу. Существуют и другие парадоксы. Во всех случаях критерием правильности любой модели или целой теории является практика.

2.2.7. Вероятностные характеристики случайных величин

В этом разделе изучаются вероятностные свойства количественных характеристик случайных явлений, т.е. случайных величин.

Законы распределения

Перед проведением опыта невозможно заранее точно предсказать какое значение случайной величины реализуется в результате опыта. Однако почти всегда интуитивно ясно, что какие-то значения случайной величины могут быть более вероятными, чем остальные или, наоборот, ни одному значению нельзя отдать предпочтения. Вероятность Р{xG} попадания случайной величины x в область G определяется законом распределения этой случайной величины.

Законы распределения случайных величин задаются двумя способами. Можно определить вероятность Р{х z} = F(z) попадания случайной величины х левее фиксированного значения z. Детерминированная функция F(z) называется функцией распределения случайной величины х и задает ее закон распределения в интегральной форме. Можно задать вероятность f(x)dx попадания случайной величины в интервал dx возле x. Тогда

,

и

.

Функция f(x) – вероятность попадания случайной величины в единичный интервал возле х. Она задает закон распределения в дифференциальной форме и называется плотностью распределения случайной величины х. Функции F(x) и f(x) связаны взаимно однозначно. Задание одной из них автоматически задает и другую.

Понятие плотности распределения может быть обобщено на случай детерминированных величин: случайная величина x, принимающая одно единственное детерминированное значение x₀, имеет вырожденную плотность распределения

f_x(x) =  (х - x₀).

Введенные понятия допускают обобщение на векторы, составленные из нескольких случайных величин:

• плотность распределения,

– функция распределения случайного вектора .

Так же, как и о независимости событий, можно говорить о независимости случайных величин. Случайные величины х и у являются независимыми если

F(z,и)=F_x(z)F_y(и)

или

f(x, y)=f_x (x)f_y {y).