2.2.6. Вероятностные схемы классическая схема
В некоторых случаях вероятности событий можно подсчитывать непосредственно. Пример. Пусть опыт состоит в однократном бросании монеты. Он имеет два равновозможных, несовместных исхода – выпадение герба или решетки. Отсюда, мы имеем право заключить, что вероятности этих событий равны 1/2. Такой подход допускает обобщение.
Пусть опыт имеет S возможных исходов так, что каждое его осуществление обязательно заканчивается одним и только одним из этих S исходов. При этом, нет никаких оснований считать, что при неограниченном повторении опыта какой-нибудь один исход может появляться чаще, чем любой другой. В этом случае вероятность каждого исхода равна 1/S. Допустим, событие А происходит, если осуществится какой-либо из k исходов. Тогда естественно положить, что вероятность этого события равна
Р(А) = k/S.
Это классическое определение вероятности. Распространена следующая формулировка классического определения вероятности: вероятностью события А называется отношение числа исходов, благоприятствующих А, к общему числу исходов.
Таким образом, классическая схема может служить моделью тех случайных явлений, для которых представляется естественным предположение о равновероятности исходов опыта. Обычно это предположение оправданно в задачах из области азартных игр, организации лотерей и т.д. Такие же требования предъявляются к организации выборочного контроля качества изделий и выборочных статистических исследований.
СХЕМА БЕРНУЛЛИ
В классической схеме на основе рассмотрения совокупности всех элементарных равновероятных событий делается вывод о вероятности (при однократном проведении опыта) того или иного исхода (события), являющегося множеством элементарных событий и, может быть, достаточно сложного. В практике вероятностных оценок часто встречается задача оценки вероятности появления некоторого количества раз того или иного события при многократном повторении опыта. В этих случаях может помочь схема Бернулли.
Одинаковые, независимые между собой испытания, в каждом из которых рассматривается некоторое событие А, наступающее с вероятностью р = Р(А), называются испытаниями Бернулли, а сама вероятностная схема – схемой Бернулли. Событие А условно называется "успехом", а дополнительное событие А, наступающее в каждом из рассматриваемых испытаний с вероятностью q = 1 - р, условно называется "неудачей". Это может показаться противоестественным, но, в силу специфики рассматриваемого здесь предмета, далее под успехами будут пониматься отказы изучаемых объектов, а под неудачами наоборот успешная работа объектов.
Если рассматривается п испытаний, то каждый элементарный исход может быть описан, например, последовательностью длины n из 1 и 0 вида
10110001...,
где стоящая на i-м месте 1 означает успех при i-м испытании, а 0 означает неудачу. Пространство состоит из всех таких возможных последовательностей. Так как вероятности р и q могут быть неравны, то элементарные события в этом случае неравновероятны и для него классическая схема в общем случае не подходит.
Определим вероятность события Ak , состоящего в том, что в n испытаниях Бернулли общее число успехов есть k . Различных исходов , приводящих к одному и тому же числу k успехов, столько же, сколько можно образовать различных комбинаций из k единиц и (п - k) нулей. Число таких комбинаций равно числу
сочетаний из n по k. Все они являются элементами множества Ak, несовместны и имеют одну и ту же вероятность р() = pkqn-k. По теореме сложения вероятностей
, k = 0, …,n.
(2.9)
Это – так называемое биномиальное распределение. Оно задается двумя параметрами: вероятностью отдельного успеха р и числом испытаний n.
СХЕМА ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ВЕРОЯТНОСТЕЙ