2.2. Элементы теории вероятностей

В этом разделе изложена минимальная совокупность фактов, терминов и определений из теории вероятностей, без знания которых понять дальнейший материал этого пособия будет невозможно. За подробностями читатель отсылается к соответствующим разделам учебников по теории вероятностей.

2.2.1. Случайные события

Любой человек (в том числе и студент) в своей жизни сталкивается со случайностями (случайными явлениями). Вот примеры: 1) из всех N вопросов к экзамену по курсу "НиБ ЯЭУ" студентом выучено N-1, а на экзамене вытащен билет с вопросом, который не выучен; 2) некоторым прибором измеряется зависимость y(x), и погрешности прибора таковы, что результаты измерения не точно ложатся на регулярную зависимость, а занимают некоторую полосу около нее; 3) броуновское движение – случайные отклонения положения пылинки в некотором объеме жидкости; 4) наконец, отказы технических устройств, всегда происходящие неожиданно (и не вовремя).

Роль случайностей в разных явлениях различна. В некоторых явлениях случайные отклонения от закономерностей малы, и их можно не учитывать. В этом случае можно строить детерминистическую модель явления (пример 2, когда полоса около у(х) – достаточно узкая).

В других явлениях случайные отклонения от закономерности значительны и требуется на их фоне правильно построить модель явления (пример 2, когда полоса около у(x) широкая). При этом, как правило, решаются два типа задач: 1) по имеющимся данным построить наилучшую детерминистическую модель; 2) изучить свойства фоновых случайностей, чтобы найти способы уменьшения их влияния.

В третьем сорте явлений сама случайность – закономерность, требующая изучения (примеры 1,3,4).

При многократном, наблюдении случайных явлений в них самих можно заметить определенные закономерности. Изучив их, мы получаем возможность управлять (в некоторой степени) случайными явлениями, ограничивать их влияние, предсказывать результаты их действия и даже целенаправленно использовать их в своей деятельности. Пример тому – расчетный метод Монте-Карло (ММК).

Из сказанного ясно, что закономерности случайных явлений могут проявляться только при их многократном наблюдении. Таким образом, изучению поддаются только такие случайные явления, которые можно, по крайней мере принципиально (мысленно) наблюдать много, практически неограниченное число раз. Такие случайные явления называются массовыми.

Теория вероятностей как раз и занимается изучением закономерностей массовых случайных явлений. Исходным пунктом для построения теории вероятностей (как и любой другой теоретической науки) служат некоторые экспериментальные факты, на основе которых формируются соответствующие абстрактные понятия.

Опытом называется наблюдение какого-либо явления при выполнении некоторого комплекса условий , который должен каждый раз строго выполняться при повторении данного опыта. Наблюдение того же явления при другом комплексе условий будет уже другим опытом. Результаты опыта можно характеризовать качественно и количественно.

Качественная характеристика опыта состоит в регистрации какого-нибудь факта, т.е. в определении того, обладают результаты опыта каким-либо свойством или нет. Любой такой факт называется событием. Примерами событий могут служить 1) вытаскивание невыученного билета на экзамене; 2) отказ прибора в заданном интервале времени; 3) попадание результата измерений в некоторый интервал значений; 5) выпадение герба при бросании монеты и т.п.

Интересующие нас случайные события мы будем обозначать прописными латинскими буквами: А, В, С, D и т.д.. С понятием события тесно связано понятие множества, т.к. всегда можно сказать, например, "событие состоит в том, что я оказался во множестве людей, сегодня неожиданно встретивших старого друга, потому что столкнулся с ним в автобусе", или "событие состоит в том, что этот прибор оказался во множестве отказавших (неисправных), т.к. вчера работал, а сегодня вдруг сломался". Понятно, что множество должны составлять элементы множества (элементарные события).

Приведенные примеры (и другие подобные, которые читатель может придумать самостоятельно) демонстрируют полную эквивалентность событий и соответствующих множеств, т.к. вероятность какого-либо события означает вероятность реализации какого-либо элемента из соответственно заданного множества. Заметим, что понятия события, множества и элемента множества являются первоначальными, т.е. неопределяемыми через другие. Исходя из конкретного содержания решаемой задачи, они задаются подходящим образом. Искусство решения вероятностных задач, к которым относятся и задачи из ВАБ ЯЭУ, как раз и состоит в подходящем подборе пространства (множества) элементарных событий и задании на этом множестве системы событий, вероятности которых требуется вычислить.

Например, в качестве подходящей модели может служить "мишенная" модель (стрельба по плоской мишени), которой в дальнейшем мы часто будем пользоваться. Она имеет следующий вид. Введем на плоскости прямоугольную систему координат и каждому исходу опыта (попаданию в определенную точку плоскости) поставим в соответствие координаты этой точки. Поместим центр мишени в начале координат. Каждый исход опыта (результат выстрела по мишени) характеризуется парой чисел (x,у), являющейся координатой точки попадания. Множество всех точек на плоскости можно считать пространством элементарных событий, а каждую пару (x,у) – элементарным событием.

Количественная характеристика опыта состоит в определении значений некоторых величин, полученных в результате опыта. Такие величины, которые могут принимать в результате опыта различные значения, причем до опыта невозможно предвидеть, какими они будут, называются случайными величинами. Примерами случайных величин могут служить 1) время безотказной работы устройства; 2) координаты (x,у) точки попадания снаряда при выстреле; 3) число попаданий в мишень при нескольких выстрелах; 4) результат измерения при заметной погрешности прибора и т.п.

С каждой случайной величиной можно связать соответствующие события. Типичным событием, связанным со случайной величиной, является событие, состоящее в том, что эта случайная величина примет в результате опыта какое-нибудь значение, принадлежащее данному множеству, безразлично какое именно. Такое событие коротко называется попаданием случайной величины в данное множество.

Частота события. Естественно сравнивать события по частоте их появления. Частотой события называется отношение числа его появлений к числу всех проведенных опытов. Таким образом, если при n опытах событие А появилось т раз, то его частота в данной серии опытов равна т/п.

Условные частоты. В некоторых случаях частоту события приходится определять при дополнительном условии, что произошло некоторое другое событие. Чтобы определить частоту события А при условии, что произошло событие В, необходимо учитывать не все произведенные опыты, а только те, в которых произошло событие В. Таким образом, если из п произведенных опытов событие В появилось в т опытах, причем в k из них появилось и событие А, то частота события А при условии, что произошло событие В, равна k/m. Эта частота не всегда совпадает с частотой события А, вычисленной с учетом всех п произведенных опытов, и называется условной частотой события А относительно события В.

Событие называется невозможным и будет обозначаться Ø, если оно не может произойти в результате данного опыта. Событие называется достоверным и будет обозначаться , если оно обязательно происходит в результате данного опыта, т.е. не может не произойти.

События A₁,A₂,...,A_n называются несовместными в данном опыте, если в результате этого опыта никакие два из них не могут произойти вместе. Например, попадание и промах при одном выстреле. Два события, несовместные в одном опыте, могут оказаться совместными в другом опыте. Например, попадание и промах (в отличие от предыдущего примера) совместны, если за один опыт считается производство двух выстрелов.